证明：对任何实数 x ，都有 [x]+[x+1／2]=[2x] ，[ ] 表示向下取整

wintex

請問數學

luyuanhong

题  证明：对任何实数 x ，都有 [x] + [x+1/2] = [2x] ，[ ] 表示向下取整。

证  下面分两种情况讨论：

（1）n≤x＜n+1/2（其中 n 是整数）。

  因为  n≤x＜n+1/2 ，n+1/2≤x+1/2＜n+1 ，2n≤2x＜2n+1 ，所以

            [x] = n ，    [x+1/2] = n ，      [2x] = 2n 。

  这时显然有   [x] + [x+1/2] = n + n = 2n = [2x] 。

（2）n+1/2≤x＜n+1（其中 n 是整数）。

  因为  n+1/2≤x＜n+1 ，n+1≤x+1/2＜n+3/2 ，2n+1≤2x＜2n+2 ，所以

            [x] = n ，    [x+1/2] = n+1 ，     [2x] = 2n+1 。

  这时显然也有  [x] + [x+1/2] = n + (n+1) = 2n+1 = [2x] 。

Nicolas2050

1）若x为整数，则[x]+[x+1/2]=x+x=2x=[2X];
(2)若x不为整数，设整数部分为a,小数部分为r（0<r<1),
当0<r<0.5时，此时0<2r<1，[x]+[x+1/2]=a+a=2a, [2X]=[2a+2r]=2a,所以[x]+[x+1/2]=[2X]
当0.5<=r<1时，此时1<=2r<2，[x]+[x+1/2]=a+a+1=2a+1, [2X]=[2a+2r]=2a+1,所以[x]+[x+1/2]=[2X]
综上得：对任意的实数x有[x]+[x+1/2]=[2X]