长方体共顶点三条棱与任意平面夹角为 α,β,γ，证：(sinα)^2+(sinβ)^2+(sinγ)^2=1

有好好生活吗

\(记长方体共顶点的三条棱与任意平面所成角分别为\alpha，\beta，\gamma，证明：\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma=1\)

波斯猫猫

思路：如图，a，b，c是顶点O的三条棱，OD是棱锥底面ABC的高h，其它如图所示，

故△ABC的三边的平方为a^2+b^2，b^2+c^2，c^2+a^2。由余弦定理与两边及夹角的

三角形面积公式易得，4(S△ABC)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2。又由体积有，

2h(S△ABC)=abc，即h^2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=(abc)^2。

故，(sinα)^2+(sinβ)^2+(sinγ)^2=h^2(1/a^2+1/b^2+1/c^2)

=h^2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)/(abc)^2=1。

波斯猫猫

长方体是任意的，即a，b，c是任意的，故平面ABC也是任意的。

波斯猫猫

已知长方体共顶点的三个面与任意平面所成的角分别为α，β，γ，
求(sinα)^2+(sinβ)^2+(sinγ)^2的值。（答案是2）

luyuanhong

第 2 楼中波斯猫猫的证明已收藏。下面是我的另一种证法：

luyuanhong

波斯猫猫 发表于 2024-1-24 19:38
已知长方体共顶点的三个面与任意平面所成的角分别为α，β，γ，
求(sinα)^2+(sinβ)^2+(sinγ)^2的值。（答案是2）