设 (1+x+x^2)^n=a0+a1x+a2x^2+…+a2nx^2n ，求（1）a1+a4+a7+…（2）a2+a5+a8+…

wintex

luyuanhong

王守恩

\(一,(1+x)^n=(\frac{1-x^2}{1-x})^n=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+a_{3}x^3+\cdots+a_{n}x^{n}=2^n\)
\(S(0)=a_{0}+a_{2}+a_{4}+a_{6}+a_{8}+a_{10}+\cdots=\frac{2^n}{2}\)
\(S(1)=a_{1}+a_{3}+a_{5}+a_{7}+a_{9}+a_{11}+\cdots=\frac{2^n}{2}\)
\(二,(1+x+x^2)^n=(\frac{1-x^3}{1-x})^n=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+a_{3}x^3+\cdots+a_{2n}x^{2n}=3^n\)
\(S(0)=a_{0}+a_{3}+a_{6}+a_{09}+a_{12}+a_{15}+\cdots=\frac{3^n}{3}\)
\(S(1)=a_{1}+a_{4}+a_{7}+a_{10}+a_{13}+a_{16}+\cdots=\frac{3^n}{3}\)
\(S(2)=a_{2}+a_{5}+a_{8}+a_{11}+a_{14}+a_{17}+\cdots=\frac{3^n}{3}\)
\(三,(1+x+x^2+x^3)^n=(\frac{1-x^4}{1-x})^n=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+a_{3}x^3+\cdots+a_{3n}x^{3n}=4^n\)
\(S(0)=a_{0}+a_{4}+a_{08}+a_{12}+a_{16}+a_{20}+\cdots=\frac{4^n}{4}\)
\(S(1)=a_{1}+a_{5}+a_{09}+a_{13}+a_{17}+a_{21}+\cdots=\frac{4^n}{4}\)
\(S(2)=a_{2}+a_{6}+a_{10}+a_{14}+a_{18}+a_{22}+\cdots=\frac{4^n}{4}\)
\(S(3)=a_{3}+a_{7}+a_{11}+a_{15}+a_{19}+a_{23}+\cdots=\frac{4^n}{4}\)
\(四,(1+x+x^2+x^3+x^4)^n=(\frac{1-x^5}{1-x})^n=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+a_{3}x^3+\cdots+a_{4n}x^{4n}=5^n\)
\(S(0)=a_{0}+a_{5}+a_{10}+a_{15}+a_{20}+a_{25}+\cdots=\frac{5^n}{5}\)
\(S(1)=a_{1}+a_{6}+a_{11}+a_{16}+a_{21}+a_{26}+\cdots=\frac{5^n}{5}\)
\(S(2)=a_{2}+a_{7}+a_{12}+a_{17}+a_{22}+a_{27}+\cdots=\frac{5^n}{5}\)
\(S(3)=a_{3}+a_{8}+a_{13}+a_{18}+a_{23}+a_{28}+\cdots=\frac{5^n}{5}\)
\(S(4)=a_{4}+a_{9}+a_{14}+a_{19}+a_{24}+a_{29}+\cdots=\frac{5^n}{5}\)

wintex

王守恩 发表于 2024-1-29 18:40
\(一,(1+x)^n=(\frac{1-x^2}{1-x})^n=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+a_{3}x^3+\cdots+a_{n}x^{n}=2^n\)
\(S(1)=a_ ...

請問老師

王守恩

一，笔误已改。

再问？答复不了。我从来是凭"直觉",凭"数感"解题，追求的是"痛快"。

《数学中国论坛》的学习机会还是很好的。这几年活得很"充实"，谢谢各路大侠！

王守恩

这应该是 "显然" 的结论呀！诸位！分享分享你的想法。譬如：
\(四,(1+x+x^2+x^3+x^4)^n=(\frac{1-x^5}{1-x})^n=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+a_{3}x^3+\cdots+a_{4n}x^{4n}=5^n\)
\(S(0)=a_{0}+a_{5}+a_{10}+a_{15}+a_{20}+a_{25}+\cdots=\frac{5^n}{5}\)
\(S(1)=a_{1}+a_{6}+a_{11}+a_{16}+a_{21}+a_{26}+\cdots=\frac{5^n}{5}\)
\(S(2)=a_{2}+a_{7}+a_{12}+a_{17}+a_{22}+a_{27}+\cdots=\frac{5^n}{5}\)
\(S(3)=a_{3}+a_{8}+a_{13}+a_{18}+a_{23}+a_{28}+\cdots=\frac{5^n}{5}\)
\(S(4)=a_{4}+a_{9}+a_{14}+a_{19}+a_{24}+a_{29}+\cdots=\frac{5^n}{5}\)
1, 1, 1, 1, 1,
1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1,
1, 3, 6, 10, 15, 18, 19, 18, 15, 10, 6, 3, 1,
1, 4, 10, 20, 35, 52, 68, 80, 85, 80, 68, 52, 35, 20, 10, 4, 1,
1, 5, 15, 35, 70, 121, 185, 255, 320, 365, 381, 365, 320, 255, 185, 121, 70, 35, 15, 5, 1,
1,6,21,56,126,246,426,666,951,1246,1506,1686,1751,1686,1506,1246,951,666,426,246,126,56,21,6,1,
......
如果我们只是把每串最大的数特别地列出来。OEIS--A324595-- 2024 年 1 月 15 日
1, 5, 19, 85, 381, 1751, 8135, 38173, 180415, 857695, 4096830, 19645975, 94523729, 456079769,
2206005414, 10693086637, 51930129399, 252617434619, 1230714593340, 6003931991895,  ......

1. Table[SeriesCoefficient[(-1+QPochhammer[-1,Sqrt[x]]/2)^n,{x,0,n}],{n,0,25}]

复制代码

王守恩

如果我们只是把每串最大的数特别地列出来。
应该是下面这个公式，当然，OEIS是没有这样公式的！！！

1. Table[Coefficient[Expand[Sum[x^j,{j,0,a}]^n],x^Floor[a*n/2]],{a,5,5},{n,1,21}]

复制代码

{1, 5, 19, 85, 381, 1751, 8135, 38165, 180325, 856945, 4091495, 19611175, 94309099, 454805755,
2198649549, 10651488789, 51698642405, 251345549849, 1223798004815, 5966636799745, ......}

各位网友！这公式还可以调吗？还有3楼的分n份公式可以有吗(我是做不了了)?谢谢！

3楼的猜想应该没有问题, 就是缺个公式检验检验(好奇)。