有点难：一个有趣的问题

陈九章

Ysu2008

利用点关于直线对称的坐标公式，可算得\(O'{,}A'{,}B'\)三点坐标分别为：
\(O'\left( \frac{2ay^2}{y^2+\left( a-x\right)^2}\ {,}\ \frac{2a\left( ay-xy\right)}{y^2+\left( a-x\right)^2}\right)\ {,}\ A'\left( a-\frac{2ay^2}{y^2+x^2}\ {,}\ \frac{2axy}{y^2+x^2}\right)\ {,}\ B'\left( x\ {,}\ -y\right)\)

要使得\(O'{,}A'{,}B'\)三点共线，当且仅当 \(\triangle O'A'B'\)面积为 0 ，则有

\(\begin{vmatrix}
\frac{2ay^2}{y^2+\left( a-x\right)^2}&\frac{2a\left( ay-xy\right)}{y^2+\left( a-x\right)^2}&1\\
a-\frac{2ay^2}{y^2+x^2}&\frac{2axy}{y^2+x^2}&1\\
x&-y&1
\end{vmatrix}=0\)

展开合并后得到四次曲线方程

\(5x^4-3y^4+2x^2y^2-2axy^2-10ax^3+5a^2x^2-3a^2y^2=0\)

曲线过\(O\left( 0\ {,}\ 0\ \right)\ {,}\ A\left( a\ {,}\ 0\right)\)两点，\(a=1\)时的图像(B点轨迹)为

(图像由 geogebra 所绘, https://www.geogebra.org/)

波斯猫猫

一般情况下，O'，A'，B'三点能共线！？特殊情况几乎没意思。

Ysu2008

波斯猫猫 发表于 2025-2-1 17:50
一般情况下，O'，A'，B'三点能共线！？特殊情况几乎没意思。

能啊，有方程为证。

Ysu2008

此题繁琐程度还在手算可接受范围内。