分数阶导数定义

luyuanhong

分数阶导数定义

原创 嘉遁蝉雏 复析数理 2024-04-14 20:05 山西

导数的概念，由于其物理背景知识丰富，早已变成了高等数学的一个不可缺少的知识点了，1695 年，罗比他给莱布尼茨写信开始问，导数能不能推广到分数阶导数，或者复数阶的导数呢？莱布尼茨也写信问伯努利分数阶导数问题，欧拉和拉格朗日两个数学大师也考虑过分数阶导数，但是，直到 1882 年拉普拉斯利用积分才第一次给出分数阶导数定义，后来，幂函数的分数阶导数通过利用伽马函数被给出来了



当 n 为二分之一时，y=x 的导数为：



另一个定义分数阶导数的是傅里叶先生，我们知道傅里叶变换可以将一个函数表示成双重积分的形式，而余弦函数的各阶导数都可以计算出来



将其中的 n 换成分数，就可以得到

  

阿贝尔在研究如下方程时



发现



也就是常数的分数阶导数一般情况下不再等于 0 了。

19 世纪 30 年代，刘维尔给出了分数阶导数，并将其应用到了势理论问题中。主要思路，指数函数的导数为



将自然数 m 改为分数、无理数、复数都可以，就得到



一个函数可以展成复指数形式的幂级数如下：



这样就可以求分数阶导数了



当函数不能展开成复指数形式的幂级数时，用伽马函数给出分数阶导数形式，由于   



因此可以得到



刘维尔给出的定义，常数的分数阶导数为 0 ，但是 Lacroix 给出 x 的 0 次方，也就是 1 的二分之一阶导数的计算如下：



关于分数阶导数定义，还有黎曼刘维尔分数阶导数定义，是从复函数的柯西积分给出的



利用上面的高阶导数公式，可以推广得到如下的分数阶导数公式，洛朗在其中做了大量工作：



常数 c 取特殊值时，可以得到

  



常用分数阶导数定义还有



复析数理