抽象代数｜Galois 理论（环论番外篇）｜域论速览

luyuanhong

抽象代数｜Galois 理论（环论番外篇）｜域论速览

原创 Celeio Universal Cover 2024-05-03 21:00

在过去的十篇文章当中, 我们用了九篇文章学习了环论的相关知识, 然后用了一篇文章讲述环论的一个衍生品——模. 本文我们来学习传统抽象代数（近世代数）课程的核心内容: Galois 理论, 事实上, 传统的抽象代数课程整个课程的目的就在于构建起 Galois 理论. 当然, 一些学者也主张将抽象代数落脚到模论当中, 这个系列的文章主要参考的书籍就是按照这个思路撰写的. 但是无论如何, Galois 理论作为抽象代数内容的集大成者, 忽略这个知识的学习终归显得我们对这门课程不够尊重, 而且了解 Galois 理论顺带着也就将域论的主要结论也都覆盖了, 因此虽然我们没有像环论和群论那样展开很多, 但是对抽象代数的主要内容还是能够有比较好的了解的. 于是, 本文我们来以走马观花式的方式来速览一下 Galois 理论的基本内容, 了解这个理论的出发点, 构造思路以及主要结论和概念等. 通过这篇文章, 也能搭建起传统抽象代数课程的主脉络来, 有助于需要学习相关知识的读者形成宏观上的把握, 从而在具体课程的学习当中做到有的放矢.

  阅读本文需要的一些背景知识主要是群论中学习过的对称群的一些性质以及之前提到的域上多项式环的一些性质, 还会用到这个系列的其它部分的小概念, 这些内容本文不再重复, 只有那些没有出现在之前文章中的相关概念本文才会进行解释说明. 此外, 作为番外, 本文也不会对其中的命题进行非常严格的证明.

0. 解多项式方程与域的扩张的初步观察



1. 域论速览





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