质疑第一次数学危机的真相（续）

yangls728

质疑第一次数学危机的真相（续）
杨六省
yangls728@163.com
笔者于2017-1-1在“数学中国·论坛”上发布了一个帖子，题目叫“质疑第一次数学危机的真相”（该帖的浏览量已超过1万人次），其中谈到了笔者怀疑√2不是有理数的传统证明方法的起因。
√2不是有理数所涉及的矛盾应该是有理数与无理数之间的矛盾，具体地说就是，√2=p/q中的p和q能否都是整数？但是，√2不是有理数的传统证明方法所设立的反论题是“√2是最简分数”，即√2=p/q（p，q 互质），其所涉及的矛盾则是有理数系统内部的某种矛盾（互质与不互质之间的矛盾），这就如同把能否入场的纠纷变成了关于座位的纠纷。事实上，很明显，如果根本就没拿到有效入场卷的话，那么，关于后者的争议是没有意义的。正是由于对两种不同性质矛盾的区分，才引起了笔者对√2不是有理数的传统证明方法的怀疑。
有人批评笔者不懂数学常识，连“任何分数都可以化成最简分数”都敢否认！笔者倒是想反问批评者：是我不懂数学常识，还是你不懂生活常识？一场婚宴尚未开始，主持人便在台上问道：“亲友们，大家都吃好了吗？”你难道不觉得这种提问可笑吗？你从未打过父亲，如果别人假设你打过父亲，尽管你不乐意，但你可以应用反证法驳斥对方！可是，如果别人假设你已经停止打父亲，或者假设你尚未停止打父亲，那么，你能应用反证法自证清白吗？就算你能够证明“你已经停止打父亲”或“你尚未停止打父亲”为假，又能如何？因为它仍表明“你还在打父亲”或“你已经停止打父亲”，但无论那一条都表明你打过父亲！请问，面对这种情景，你情何以堪！同理，对于不是分数的√2，你可以问“√2是分数吗？”你可以“假设√2是分数”，但是，你不可以问“√2是最简分数吗？”（注：连分数都不是，却要问……）你不可以“假设√2是最简分数”，即不可以“假设√2=p/q（p，q 互质）”，因为在逻辑上前者如同上述婚宴主持人的提问（这在逻辑上叫做复杂问语谬误），后者如同“假设你已经停止打父亲”，或“假设你尚未停止打父亲”。通过这种人人都明白的比喻，你还会认同把√2=p/q（p，q 互质）（即“√2是最简分数”）作为√2不是有理数的反论题是正确的吗？把√2=p/q（p，q 互质）（即“√2是最简分数”）作为√2不是有理数的反论题，就算你能够证明“√2是最简分数”为假，但这意味着“√2是非最简分数”为真，而后者又蕴涵着“√2是分数”，也就是说，你认可“√2是分数”，但这是你的“初心”吗？所以说，传统的证明方法在设立反论题时，就已注定南辕北辙了！话说回来，人们还是要问，“任何分数都可以化成最简分数”这句话错了吗？笔者的回答是，对于一个独立存在的分数，或者对于一个在表达式中不会引起矛盾的分数，上述断言当然是成立的。但是，对于人们假设的√2=p/q (p和q均为整数)而言，表达式“p/q (p和q均为整数)”处于矛盾的关系中（等式两边并不真相等），它徒有分数之名，而无分数之实，因此，在这种情况下，应用“任何分数都可以化成最简分数”是没有根据的，事实上，这种应用也是错误的。简言之，从“假设√2=p/q (p和q均为整数)”推不出“假设√2=p/q（p，q 互质）”，传统证明方法把√2=p/q（p，q 互质）作为√2不是有理数的反论题是错误的。基于此，我们说，毕达哥拉斯学派在此无权应用反证法。
应用反证法，反论题必须作为后续推理的条件，否则，凭什么说明反论题就是导致矛盾的原因呢？既然传统的证明方法把√2=p/q（p，q互质）作为“√2不是有理数”的反论题，那么，依据反证法，就应该把这个反论题作为后续推理的条件以便推出矛盾。但是，√2=p/q（p，q互质）中的“p，q互质”并没有参与后续推理，这是不符合反证法要求的，因此，我们不能承认传统证明方法的有效性。
传统的证明方法把√2=p/q（p，q 互质）作为√2不是有理数的反论题。考察其论证过程不难发现：传统的证明方法以为，只要从√2=p/q (p和q均为整数)推出p和q都是偶数，就可以否定反论题√2=p/q（p，q 互质），从而证明√2不是有理数。我们姑且不论传统证明方法的思路是否有意义（事实上，例如，√2=p/q（p，q 互质）就是无意义无真假的）。我们只需指出，从√2=p/q (p和q均为整数)推不出p和q都是偶数，即可说明传统证明方法是无效的。假设从√2=p/q (p和q均为整数)可以推出p和q都是偶数。设p=2r（r为整数）,q=2s（s 为整数）,代入√2=p/q（p，q 均为整数），可得√2=r/s（r，s 均为整数）；同理，设r=2t（t为整数）,s=2w（w 为整数）,代入√2=r/s（r，s 均为整数），可得√2=t/w（t，w 均为整数）；……这就是说，假设从√2=p/q（p，q 均为整数）可以推出p和q都是偶数，那么，这个假设蕴涵着一个有序偶数对的无穷序列：p，q；r，s；t，w；……这意味着p和q均含有无穷多个因数2，说明p和q均不是整数。简言之，如果从√2=p/q（p，q 均为整数）可以推出p和q都是偶数，那么，从√2=p/q（p，q 均为整数）就可以推出√2=p/q（p，q 均不为整数），矛盾！所以，从√2=p/q（p，q 均为整数）推不出p和q都是偶数。
经由两位数学专家的建议和推荐，笔者在中国科学技术史2000年学术年会数学史分会场作了题为《数学史关于第一次数学危机的表述应改写——毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数的证明是无效的》的发言。加拿大数学史杂志一位编辑建议笔者写一篇数学教育论文发表。我国一位著名数学家、中科院院士在2017-6-18的回复中写道：“您的证明是对的。”但是，笔者感到这个证明的表述有点长，很难普及推广。下面是简化后的证明。
命题：√2不是有理数，即√2= p/q（p和q不都是整数）。
证明：假设√2= p/q（p和q都是整数）。先固定q是整数，于是有p2=2q2（q是整数）。p不能是奇数，因为奇数的平方不是偶数。假设p是偶数。设p=2r,代入p2=2q2,得q2 =2r2，同理，q是偶数；同理，r是偶数；……这样，p将含有无穷多个因数2，这与假设p是偶数矛盾。所以，p不是偶数，p不是整数，从而命题得证。
据传说，希帕索斯是第一个发现√2不是有理数的人。但由于这一发现触犯了毕达哥拉斯学派“万物皆数”的哲学信条，希帕索斯被扔到大海里淹死了。但是，真理是淹没不了的。“√2不是有理数”现在已是人人皆知的常识了。
相信会有一天，数学史关于第一次数学危机的相关表述将改写——毕达哥拉斯学派只是最早发现了√2不是有理数，但没有证明它。
希望广大初中数学老师能够喜欢和应用上述证明方法。星星之火可以燎原！相信有一天，世界各国的中学数学教科书将下架蒙蔽了世界25个世纪之久的无效证明，换上表里一致的有效证明——这个新的证明克服了传统证明方法对无穷偶数序列“p,q,r,……”的人为割裂（指只用到其前两项p和q都是偶数参与推理），使隐藏在“p是偶数”这个假设之中的无穷偶数序列不再残缺，从而恢复其无限之美、圆满之美！

附：人教版数学七年级下册第58页的证明。
假设√2是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得
√2=p/q，
于是                                   p=√2q.
两边平方得                             p2=2q2.
由2q2是偶数，可得p2是偶数. 而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数.
因此可设p=2s，代入上式，得4s2=2q2，即
                                   q2=2s2.
所以q也是偶数. 这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾.
这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数.
评论：上述证明的出发点是√2=p/q，即p2=2q2。如果没有q为整数这个假设，就不会有2q2和p2是偶数之结论。接下来，如果真能从p2=2q2（q是整数）推出p是偶数，那就是说，由√2=p/q可推出“q是整数且p是偶数”，而“q是整数且p是偶数”意味着p和q都是整数，从而说明√2是有理数，但这是荒谬的！（说明：笔者关于√2不是有理数的证明与毕达哥拉斯学派的证明没有关系，所以，笔者在说理中有理由把√2不是有理数作为论据加以应用）所以，从p2=2q2（q是整数）推不出p是偶数，于是，教科书的论证链条断裂。仅凭这一点，即可说明教科书的证明是无效的。
另外，√2不是有理数的常用证明方法的负面作用还表现在它的误导性：以为应用反证法，只要能够推出矛盾，就表明已经证明了原论题——笔者真不明白，推出的p和q都是偶数（姑且不论这种推理是否有效）与假设p和q互质矛盾，怎么就能得出√2不是有理数的结论呢？要知道，这里的结论（指p和q不都是整数）与条件（指p和q都是偶数）可是不相容的呀！事实上，如果反论题的设立是错误的，或者，即使反论题的设立是正确的，但如果接下来的推理包含无效推理，那么，就不能说原论题已经得到了证明。

不妨梳理一下，看看√2不是有理数的传统证明方法都有哪些错误？
①错误的设立反论题，就连赫赫有名的毕达哥拉斯学派也无权应用反证法。这是个方向性错误，它注定了所进行的论证“全盘皆输”，具体细节也会“一无是处”。
②反论题没有参与后续推理，不符合反证法要求。
③由假设p2=2q2（p和q都是整数）推不出p是偶数（理由参见笔者关于√2不是有理数的证明）。
④由p和q都是偶数与假设p和q互质矛盾推不出√2不是有理数。
……

笔者不知道这个帖子是否具有足够的说服力？如果哪位朋友仍有疑问，请告诉我：yangls728@163.con 我们可以进行沟通。