平面几何与图形的逻辑美

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平面几何与图形的逻辑美

原创 娄文 欧拉数学荟 2024-05-07 16:30 广东



平面几何是数学中一个非常独特的分支。

首先，平面几何与数论并列为数学的两个最古老的分支。而就理论的系统性与完整性而言，平面几何的发展明显超前于数论。

其次，平面几何在中小学数学的教学规划中占了很大的比重。无论在学习内容还是学习时间方面，平面几何都明显多于其他的版块。

一般而言，一个学科中越“古老”的部分，在这个学科中就处于越底层和基础的位置。然而，同样古老的平面几何和数论，在当前的教学规划中所受的待遇却有天壤之别——平面几何最核心的部分基本上都被保留下来了，而数论则分崩离析，只剩下几个简单的概念，根本没办法支撑起哪怕是最简陋的框架，以至于“数论”这个名词都几乎消失在大众的视野中了。

其三，平面几何是非常有“艺术表现力”的数学分支。平面几何中充盈着图形之美，其定理、公式通常都可以用精致的图形来展现和解释。

就这一点来说，平面几何可能是数学中最容易得到大众的欣赏的部分。我不由得猜想，这也是她在中小学数学中获得超然地位的重要因素。

然而我也必须提出一个质疑：在普及性和半强制性的教育中，是否应该包含如此高密度的平面几何内容？

普及性意味着几乎所有人都要接受和经历这样的教育，半强制性则表明学习过程是受到一定程度的监管和督促，而不是自主的。之所以说是“半”，是因为学生还是有选择“学得不那么好”的有限自由。

如前所述，要了解数学这个学科，就必须对平面几何和数论这两个最古老的分支有基本的认知。但是，在当前的普及型和半强制性的学校教育中，我们不能要求所有孩子以学好这个学科为目标，而应该注重培养基本的数学素养。

如果认同上面的观点，我们就不难发现，平面几何在中小学教育中占的比重明显偏高，而数论却被“削”得太过头了。

此外，在应试导向下，原本就已经“膨胀过头”的平面几何教学更偏离了方向，不仅没有着力于引导学生建立起图形的逻辑观念，却简单粗暴地给学生增加沉重的解题负担。

我始终坚持认为，如果数学解题只关注答案，而不理解获得答案的过程，解题就失去了最大的意义。对平面几何而言，我们要关注的是图形各个部分之间的关联性，例如长度、角度，以及更复杂的等量、不等量关系，理解这些关联性对解答过程的影响和作用。

我有一个长期养成的习惯——在完成解答后，把整个解答过程重新“复盘”一遍，梳理解题方法和题目条件之间的因果关系，以及题目条件之间的关联性。特别是对难度较大的题目，这样做所得到的收获可能还超出解题的过程。

下面以我前不久解答的一个平面几何题为例进行分析和解释。

【温馨提醒】建议读题后先思考一段时间，最好能动手做一下，再继续看后文。

如下图，试求圆的半径 R 。



首先，因为要求的是圆的半径，而纯几何方法对所求的量通常要有相应的图形，所以我们应该想办法作出圆的半径或直径。

注意到 ∠B 是直角，所以延长 BC 交圆于点 E ，并连接 AE ，则 AE 就是圆的直径。



因为 △ABE 是直角三角形，由勾股定理，

        AB^2+BE^2=4R^2 。

然而 CE 的长度未知，所以设 CE=x ，则得

      144+(15+x)^2=4R^2 。

在我看来，这一步是很容易想到的。但我们还需要得到另一个关于 x 和 R 的等式关系，才能与上式联立解出 x 和 R 。而这第二个等式关系就需要多观察和尝试才能发现。

注意到线段 CD 的长度还没有用过，应该多围绕这个条件展开思考。我的做法是作线段 AB 的垂直平分线交 AE 于点 O ——即圆心。圆的任意一条弦的垂直平分线都经过圆心，这是很基本的几何性质。



再延长 DC 交垂直平分线于点 F ，连接 OD ，则 △ODF 是直角三角形。仍由勾股定理，

      OF^2+DF^2=R^2 。

注意到 CF 的长度是 AB 的一半，所以 CF=6 。为求 OF 的长度，我们过 O 作 BE 的垂线交 BE 于点 G ，则 GE 的长度是 BE 的一半，即

        GE=(15+x)/2 。

所以

       OF=GC=GE-CE=(15-x)/2 。

把 DF 和 OF 的长度代入勾股定理的等式并把等式乘 4 ，得

        784+(15-x)^2=4R^2 。

把两个等式联立，先解出 x=32/3 ，再代入任意一个等式中解出 R=85/6 。

上面的解答是非常标准的平面几何方法——尽力找出图形中的等式关系，并据此得到所需的几何量。但我对这个结果并不满意，其一是整个过程太刻意，就是为了达到目的而逐步推进；其二是最后的图形不漂亮，很杂乱。

重新复盘整个解答，不难发现作弦的垂直平分线对解答过程的作用很大。我做了一些尝试后，又得到了下面的解法。

为了使图形看起来更美观，我把原图形顺时针旋转 90 度。延长 DC 交圆于点 E ，然后过圆心 O 作 AB 和 DE 的垂直平分线。由于 AB 平行于 DE ，所以它们的垂直平分线重合。记两个垂足为 F 和 G ，显然 FG=BC=15 。

连接 OA 和 OE ，得到两个直角三角形 OFA 和 OGE 。



设 OG=x ，对 △OGE 运用勾股定理得

     196+x^2=R^2 。

再对 △OFA运 用勾股定理得

     36+(15-x)^2=R^2 。

把上面两个方程联立，先解出 x=13/6 ，再代入任意一个方程解出 R=85/6 。

相比第一个解法，我认为第二个解法的构图更简洁，而且很对称。事实上，第二个解法非常深刻地揭示了已知条件之间的关联性。我们可以通过推广原题的条件来理解这一点。

在原题中，线段 AB, BC, CD 的长度都给出了具体的数值。如果我们抹掉这些数值，设 AB=a , BC=b , CD=c ，用第二个解法仍然可以毫无困难地给出半径的表达式。



由于 EG=a/2+c ，所以 △OGE 的勾股定理等式乘 4 后为

       (a+2c)^2+4x^2=4R^2 。

另一方面，AF=a/2 , OF=b-x ，所以 △OFA 的勾股定理等式乘 4 后为

         a^2+4(b-x)^2=4R^2 。

联立两个方程可解出

       x=(b^2-c^2-ac)/(2b) 。

半径 R 的表达式稍微有点复杂，就不列在这里了，大家可自行推导。

特别说明一下，两条弦 AB 和 DE 可能位于圆心的同侧，也可能位于两侧，这两种情形都可以统一用上面的解法来处理。如果从联立方程组解出的 x 值是负数，就说明是前一种情形。

上面两种解法都是纯几何方法，我们还可以用解析方法来求解。把圆心设为坐标原点，设 B 点坐标为 (-x,6) ，则 D 点的坐标为 (15-x,14) 。由 B, D 在圆周上可列出两个方程，联立即可先求出 x ，再求出半径 R 的值。这个做法与上述第一个几何解法殊途同归，有兴趣的不妨自己动手做一下。

对于不愿费工夫做图形分析的人来说，解析方法确实提供了一条解决麻烦的捷径。但我认为，除非纯几何方法无能为力，我们都应尽量避免使用解析方法。

最后做一个简单的小结和评述。

这道题并不是难度很高的题目，但我认为它是非常值得思考和动手解答的好题。好题如好酒，酒不是度数越高就越好，而是要回味悠长。对于一道好题，完成解答只是半途，后面还有更美的风景。

应试教育之毒，就在于遮蔽了后半程的风景，驱赶着孩子像矿工一样，日复一日地在黑暗中辛苦地劳作。

学习从来都不轻松，必定要付出辛勤的汗水，但有的人是为挖到几块金子而狂喜，有的人却是为追寻旅途中日日常新的风景。

欧拉数学荟

王守恩

\(正弦定理(△ABD):\frac{17}{\sin(A)}=\frac{12}{\sin(D)}= 2 R,其中:\sin(A + D)=\frac{15}{17},17^2=8^2+15^2\)

王守恩

这样也行。

\(AB=12,\ BD=\sqrt{8^2+15^2}=17,\ DA=\sqrt{15^2+(8+12)^2}=25,\ s=\frac{12+17+25}{2}=27\)


\(R=\frac{a*b*c}{4\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}=\frac{12*17*25}{4\sqrt{27(27-12)(27-17)(27-25)}}=\frac{85}{6}\)

王守恩

简单一点。

\(R=\frac{a*b*c}{4*S△ABD}=\frac{12*17*25}{4*12*15/2}=\frac{85}{6}\)

王守恩

\(一般地。\ \ 15=a,\ 8=b,\ 12=c\)


\(R=\sqrt{\frac{\big(a^2+b^2\big)\big(a^2+(b+c)^2\big)}{4a^2}}\)

王守恩

好题！“复盘”再得。

\(15*CE=(12+8)*8\)

\((15+CE)^2+12^2=AE^2\)


\(R=\sqrt{\frac{\big(a^2+b^2\big)\big(a^2+(b+c)^2\big)}{4a^2}}=\sqrt{\frac{(a^2+b^2+bc)^2+a^2c^2}{4a^2}}\)