杂谈（三）复数，复数域不是有序域，“荒谬”的球极投影

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杂谈（三）复数，复数域不是有序域，“荒谬”的球极投影

原创 奇怪的学者 英雄这里来 2024-03-28 12:37 广东

通过前两次的叙说，我们从自然数集，扩大到了整数集，进一步扩大到有理数集，又扩大到实数集！过程中对这些“数”的公理化描述叙说的比较详细，并且引出了有意思的结论：有理数与自然数“一样多”（尽管它听上去有点反认知）。但是现在，我们还是不满足于现有的数系，比如求解 x^2=-1 这样的方程我们束手无策，并且我们可以说：现代数学的很多源头都源自“复分析”里的东西，于是我们现在需要去引入并研究“复数”。而且我们本次的主线仍然有意思，证明：一个面积有限的球面上的点的数目数，可以比一个无限延展的平面的点数还要多一（尽管这依旧有些反认知）。

复数的定义及其运算



复数的几何表示



扩充平面与球极投影





我们令 S 的北极 N 为 (0,0,1) 固定，对于复平面上的任何一个点 z ，我们连接 Nz 这条直线，那么一定会和球 S 交于一点 p ，如图所示：





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