求极限的方法总结

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求极限的方法总结

原创 南国林 走近自然科学 2024-04-21 20:27 山西

高等数学中有三大基本运算：求极限，求导，求积分。求函数极限是高等数学中一类重要的运算，求极限经常会使用到洛必达法则，但是洛必达法则并不能解决所有的极限问题。下面总结出几种洛必达法则以外的求极限的方法：（本文所有极限均为一元函数极限，不考虑多元函数）

1. 直接代入法

如果所需求得的函数极限是趋于一个实数，并且将极限值代入函数后函数仍有意义，那么可以直接将极限代入，例如



（不过直接代入法要求函数在极限处连续）

2. 利用基本函数极限

如果函数极限中存在或者可以构造出基本函数极限（如 y=1/x），那么可以利用基本函数极限求极限值。例如



3. 利用极限的四则运算法则

当函数为若干个简单函数的相加或相乘时，可以利用极限的四则运算法则将函数拆分，再分别计算函数极限。例如



（但需注意使用极限的四则运算法则时需保证极限存在）

4. 利用等价无穷小

在利用等价无穷小之前，需要了解什么时候两个函数等价：当两个函数 f 和 g 满足极限



此时两个函数等价。当函数过于复杂以至于不便进行运算时（如三角函数，指数函数模型），可以将函数等价，例如



但是需要注意等价无穷小只能在乘除法当中运用，在加减法当中不一定适用，其原因在于等价无穷小的本质是将函数泰勒展开后略去了高阶无穷小项，当做加减运算的两个函数泰勒展开后高阶无穷小项未必能消去，那么此时高阶无穷小展开后做差得到的绝对值最大的一项应当成为新的无穷小量，例如



此时函数的等价无穷小不应该是 x-x=0 而是 x^3/2 。

5. 取对数法

当函数的指数部分出现变量，进行常规运算较难处理时，可以取对数运算，例如



6. 根式有理化

若极限中出现不定型，而且函数中含有根式相减的情况，使用洛必达法则较为繁琐，此时可以将根式有理化，例如



7. 泰勒公式

如果遇到复杂的函数不好处理，等价无穷小无法解决问题或失效的情况下可以采用泰勒公式（其实可以看作等价无穷小方法的升级版），例如



8. 利用两个重要极限

首先需要知道两个重要极限：



如果函数中出现形式和这两个极限相似的情况，可利用两个重要极限求极限，例如



9. 换元法

当函数较为复杂，可以将函数中的部分量看作整体时，可以使用换元法。例如



10. 夹逼定理

如果面对一个复杂函数无法通过上述方法解决极限，那么可以通过取一个比这个函数小的函数和一个比这个函数大的函数，使得这两个函数可以利用上述方法求解，并求得两个函数极限相等，从而求得复杂函数的极限值，即夹逼定理（又称两边夹定理），例如



在不使用洛必达法则的前提下上述十种方法可以解决绝大部分极限问题，通常使用上述方法解决极限问题时需要先将原函数拼凑出方便处理的形式，再使用上述方法进行解决，有时面对复杂的情形还会将上述方法结合应用。

个人观点，仅供参考。

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