离心率大于 1 意味着什么？——从圆到椭圆、抛物线和双曲线的嬗变（三）

luyuanhong

离心率大于 1 意味着什么？——从圆到椭圆、抛物线和双曲线的嬗变（三）

原创 深度一佳 深度一佳 2024-05-23 08:57 山东

如果我们把截平面倾斜更厉害一点，倾斜度比圆锥曲面母线的还要陡的话，截平面就会在圆锥的顶点两侧切入圆锥曲面，但因为角度太小的原因，即使在另一端的无限远处，也没有办法从圆锥曲面切出，所以，顶点两侧的截线也会是开放的，称为为双曲线。



此时，在圆锥顶点两侧的圆锥体中，会各有一个丹德林球和截平面相切，但这两个球却是被迫反向设置的。

在实际的几何环境中，切点如果是在封闭的截线长轴顶点之内的话，从中心点到切点的距离 c ，是小于到长轴顶点的距离 a 的，如椭圆；

如果截线处于是否封闭的临界状态时，切点正好位于临界状态中截线长轴的顶点处，c=a ，如抛物线；

上图中，截线被分割在圆锥顶点的两侧，原本在截平面下方的丹德林球，现在无法做到和截平面与圆锥曲面同时相切了，它只好跑到和圆锥顶点 A 中心对称的对面圆锥里，在截平面的上方和圆锥曲面及截平面内切。

也就是说，此时它的切点，对应的是 A 点下方截线的顶点；

换句话说，切点在顶点之外。

同理，下方丹德林球的切点对应的是上方截线的顶点。

这样来回一调换，顶点之间的距离 2a ，比两切点之间的距离 2c 要小很多，e=c/a＞1 ，妥妥的双曲线。

当然，直接用下面这个公式：



一样可以得出确切的结论。

在解析几何中，双曲线可以用方程表示：



上述方程表示焦点在 x 轴，实轴长为 2a ，虚轴长为 2b 双曲线。

焦距等于二者的平方和再开方。

每一条存在实轴和虚轴的双曲线，都会被它的两条渐近线包围起来，双曲线在无限远处无限接近这两条渐近线，但无法到达。



这两条渐近线，实际就是几何场景中圆锥曲面的两条母线。

从几何场景来说，相互交叉的两条母线，也是双曲线，只不过，此时截平面直接过圆锥曲线的轴线，所以，双曲线两支的顶点都在圆锥曲面的顶点上而已，实轴为 0 ；同时顶点两侧相对称的圆锥体被截平面从中间劈开，都不存在丹德林球内切的条件，所以切点也不存在，也就不存在什么焦距 c 的问题，如此一来，e=c/a 没办法计算。

当然，你也可以认为此时 e=c/a=0/0 ，因为 c 和 a 都是从右侧正向逼近 0 ，所以如果从极限角度考虑的话，此时 e 的极限等于 1 。

所以，我们说 e=1 可以是抛物线，也可以是一条顶点的切线直线，也可以是过顶点的两条母线直线。

总之，e=1 是临界状态，是从椭圆到双曲线的过度状态。

不过，我建议在此处没必要用力过度，因为从理论上来讲，任何临界状态都会充满各种可能的变数，所以也是最玄幻的，用力过度容易让人走火入魔。

回到正途，当 e＞1 时，圆锥曲线也出现两种情形：

1、存在实轴的双曲线两支，圆锥曲面的母线为其渐近线。

2、圆锥曲面的两条母线。

如果焦点在 y 轴，那就把方程改写一下就可以：



渐近线：



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深度一佳