向量值函数的微分运算法则

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向量值函数的微分运算法则

原创 YoungerBUPT YoungerBUPT 2024-05-23 16:00 北京

一、向量值函数的微分法则

（1）向量值函数的导数

    之前提到，向量值函数由于对于每一个函数分量而言，变量有多个，所以不能按照传统的方式来定义导数。

    但是，上一节我们也发现，向量值函数具有微分，微分是在求每一个分量的偏导，也即：



    如何合理的定义一个向量值函数的导数呢。从上面的形式，我们可以看出，做出如下定义是非常合理的！



（2）向量值函数导数的法则

1、向量值函数与向量值函数相加

    比方说，我们有：



    那么，如何计算 D(f+g) 呢？显然就应该满足：



    于是，就得到了第一个微分运算法则：



2、向量值函数与向量值函数点乘

    比方说，我们做两个向量值函数的点乘：



    那么，点乘后的向量值函数的导数是怎样的呢？



    我们可以将 D 放入求和号中，因为已经证明了导数的加法运算：



    对于每一个单独的函数分量，我们有：



    接着，我们对求和号进行打开，就可以得到：



    这便是向量值函数微分的第二个法则：



3、数量值函数与向量值函数相乘

    比如说，这样的两个函数相乘：



    那么显然，这个 u 就相当于 g 的每个分量都是相同的 u 。所以必然地，会满足下面的关系：



4、向量值函数与限量值函数叉乘

    首先，作叉乘运算必然是一个三维向量。于是，我们可以假定以下的两个向量进行叉乘运算：



    于是，运算后，就可以得到：



    于是，我们就可以进行求导运算，得到：



    进行整理，我们可以发现：



    再进行整理，我们发现：



    于是，最终，我们就获得了：



二、向量值函数的链式法则

    数量值函数有链式法则，同样地，向量值函数也可以推广产生链式法则！

    比如说，我们现在有一个函数，并且是复合的向量值函数，像下面这样：



    我们希望对这个向量值函数进行求导，于是可以进一步对它进行展开：



    于是，我们可以尝试一层一层地进行求导：



    于是，对于每一个位置，我们都可以应用复合求导的公式，也即：



    于是，就可以对上面的每一项都做类似的修改，有：



    于是，为了更漂亮一些，我们可以把上面的式子写成矩阵的形式，像下面这样：



    这就是向量值函数的链式法则。



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