\(\Large\textbf{标准分析的数学基础浅说}\)

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由于\(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset{R}=(-\infty,\infty)\)作为以\(\mathbb{Q}\)为子域的具有最小上界性的
阿基米德有序域的实数域\(\mathbb{R}\)的存在唯一性有着无与伦比的重要性.。而实数理论就是证明对\(\mathbb{Q}\)作连续扩充(戴德金构造或康托基本列构造)的结果恰是所需数域，它们在代数同构的意义下是唯一的。所以实数理论就是标准分析的数学基础。从数系扩充链 \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset{R}\)知道\(\mathbb{N}\)具有一切数系的共同本源的重要性.
\(\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\) 是自然数模到整数环的保序代数扩充，引入了负数及减法; \(\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\)时整数环到有理数域的保序代数扩充，引入了倒数及除法；\(\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\) 是有理数域到实数域的保序连续扩充，引入了无数种运算(\(\sqrt[n]{a},\,a^x,\,x^y,\,\sin x,\ldots\)), 并且这个连续扩充具有终极性(完备性).

实数域的阿基米德性(\(\forall a>0\,\forall M> 0\,\exists n\in\mathbb{N}\;(na > M)\))其实就是实数的有限(度量)性。结合自然数的良序性就有 \(\forall a\in\mathbb{R}\exists !\,n\in\mathbb{Z}\,(n-1\le a< n)\).

\(\mathbb{R}\) 是一个其元皆有限的无界全序集，所以可以扩充成具有上下确界的全序集 \(\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}=\mathbb{R}^*\). \(\mathbb{R}^*\)不再是数域，\(\pm\infty\) 也不是实数，但规定 ，\(0\cdot(\pm\infty)=0,\; \forall a\in\mathbb{R}\;(a\cdot(\pm\infty)=\pm\text{sign}(a)\infty,\;a/(\pm\infty)=0,\;\infty\pm a=\infty)\)

\(\displaystyle(\lim_{n\to\infty}a_n=a)\iff \exists a\in\mathbb{R}\,\forall\varepsilon>0\,\exists N\in\mathbb{N}\,\forall n>N\;(|a_n-a|<\varepsilon\) 是实数系序列极限的Weiestrass释义。

已知的数学基础结果。
(1)集合论, 实数理论和极限的Weiestrass释义最终解决了三次数学危机.
(2)Godel 不完全定理指出了数学没有穷尽自身疆界的时候。
(3)连续统假设独立于ZFC，选择公理独立于 ZF.

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一个自然的问题是，为什么数学家们如此折腾，一些常人看来一目了然的事情，到他们手里就变得如此复杂繁琐？我小学的时候算术相当不错，于是觉得数学就是算术这么个事。直到有一天我问自己边长为多少时正方形面积是 1/2?  我才知道自己不知道还有开平方这回事。
从最近本版块很疯狂地\(N_{\infty}\)论战，大家应该看到，魔鬼就是藏在细节中，例如根据集合论中的元素考察法我们可以证得\(\color{blue}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}F(n)=F(\lim_{n\to\infty}n)}\)这段文字，看来对仗工整气宇昂然，其实漏洞不打一处来，\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\)根本就不存在，可以证得又不证常有妖。结果是根本证不了。所以主贴的每一个数系扩充都是及其严密的，所有需要证明的地方都必须给出证明。举例来说，自然数的加法必须给出定义，定义的完全性必须用归纳法证明，加法满足交换律，结合律都需用归纳法证明，归纳法本身的合理性也需要证明，等等等等。
扪心自问一下：本人是否真的有搞数学基础的审慎态度，深厚的知识储备去参与数学基础研究？

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我们今天使用的极限表达式 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n,\;\lim_{x\to a}f(x)\) 是从英国数学家 G.H. Hary (Godfrey Harold Hardy) 那里沿袭下来的. 不是非常久远的事。 作为极限的\(\varepsilon-N,\;\varepsilon-\delta\) 释义的缩写，极限符号非常方便适用。然而这个符号带有鲜明的动点终极位置的暗示，引起一些对极限本质的误读。正是这类误读，导致了伯克莱大主教对微积分的诘难，第二次数学危机, 等等。待续