已知数列 {a(n)} 满足 a(1)=1 ，a(n+1)=na(n)+2 ，求 a(n) 的通项公式

jinanliufanli

高中数学竞赛题\(a_1=1{,}a_{n+1}=na_n+2\),求通项\(a_n\)

lihp2020

1 A_n 明显>N!  
2  自己求前5项 也发现 递增越来越大
n!  >a^n   n->无穷
高中阶段 应该没有学 比指数函数增长更快的函数了
tps  好像叫伽马函数？？ 如果不用 那么表达式几乎都带上了n! 符号

\(a_{n+1}=na_n+2\ \)

\(a_{n+1}+k=n\left( a_n+k\right)\ \ \)
k=2/n-1
\[a_{n+1}+\frac{2}{n-1}=n!\cdot a_0\ ->\ a_{n+1}=n!\cdot a_0\ \ -\frac{2}{n-1}\ ->\ a_n=\left( n-1\right)!\cdot a_0\ \ -\frac{2}{n-2}\ \ \ \ \]

其中 n>=2  

王守恩

已知数列 {a(n)} 满足 a(1)=1,  a(n+1)=na(n)+2,  求 a(n) 的通项公式

a(1)=1,
a(2)=2*1+2=4,
a(3)=3*4+2=14,
a(4)=4*14+2=58,
a(5)=5*58+2=292,
a(6)=6*292+2=1754,
a(7)=7*1754+2=12880,
a(8)=8*12880+2=98242,
a(9)=9*98242+2=884180,

\(a(n)=\lfloor(2*e-3)*n!\rfloor\ \ \ \ \ \lfloor\ \ \ \ \rfloor 表示小数部分作 0。\ \ e=2.7182818284590452354...\)

{1, 4, 14, 58, 292, 1754, 12280, 98242, 884180, 8841802, 97259824, 1167117890, 15172532572, 212415456010,
3186231840152, 50979709442434, 866655060521380, 15599791089384842, 296396030698312000, 5927920613966240002}

1. Join[{1}, Table[Floor[(2 E - 3) n!], {n, 2, 20}]]

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王守恩

已知数列 {a(n)} 满足 a(1)=1,  a(n+1)=na(n)+3,  求 a(n) 的通项公式

a(1)=1,
a(2)=2*1+3=5,
a(3)=3*5+3=18,
a(4)=4*18+3=75,
a(5)=5*75+3=378,
a(6)=6*378+3=2271,
a(7)=7*2271+3=15900,
a(8)=8*15900+3=127203,
a(9)=9*127203+3=1144830,

\(a(n)=\lfloor(3*e-5)*n!\rfloor\ \ \ \ \ \lfloor\ \ \ \ \rfloor 表示小数部分作 0。\ \ e=2.7182818284590452354...\)

{1, 5, 18, 75, 378, 2271, 15900, 127203, 1144830, 11448303, 125931336, 1511176035, 19645288458, 275034038415,
4125510576228, 66008169219651, 1122138876734070, 20198499781213263, 383771495843052000, 7675429916861040003}

1. Join[{1, 5}, Table[Floor[(3 E - 5) n!], {n, 3, 20}]]

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王守恩

已知数列 {a(n)} 满足 a(1)=1,  a(n+1)=na(n)+4,  求 a(n) 的通项公式

a(1)=1,
a(2)=2*1+4=6,
a(3)=3*6+4=22,
a(4)=4*22+4=92,
a(5)=5*92+4=464,
a(6)=6*464+4=2788,
a(7)=7*2788+4=19520,
a(8)=8*19520+4=156164,
a(9)=9*156164+4=1405480,

\(a(n)=\lfloor(4*e-7)*n!\rfloor\ \ \ \ \ \lfloor\ \ \ \ \rfloor 表示小数部分作 0。\ \ e=2.7182818284590452354...\)

{1, 6, 22, 92, 464, 2788, 19520, 156164, 1405480, 14054804, 154602848, 1855234180, 24118044344, 337652620820,
5064789312304, 81036628996868, 1377622692946760, 24797208473041684, 471146960987792000, 9422939219755840004}

1. Join[{1, 6, 22}, Table[Floor[(4 E - 7) n!], {n, 4, 20}]]

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王守恩

已知数列 {a(n)} 满足 a(1)=1,  a(n+1)=na(n)+5,  求 a(n) 的通项公式

a(1)=1,
a(2)=2*1+5=7,
a(3)=3*7+5=26,
a(4)=4*26+5=109,
a(5)=5*109+5=550,
a(6)=6*550+5=3305,
a(7)=7*3305+5=23140,
a(8)=8*23140+5=185125,
a(9)=9*185125+5=1666130,

\(a(n)=\lfloor(5*e-9)*n!\rfloor\ \ \ \ \ \lfloor\ \ \ \ \rfloor 表示小数部分作 0。\ \ e=2.7182818284590452354...\)

{1, 7, 26, 109, 550, 3305, 23140, 185125, 1666130, 16661305, 183274360, 2199292325, 28590800230, 400271203225,
6004068048380, 96065088774085, 1633106509159450, 29395917164870105, 558522426132532000, 11170448522650640005}

1. Join[{1, 7, 26, 109}, Table[Floor[(5 E - 9) n!], {n, 5, 20}]]

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tmduser

归纳法：
设 a(1) = A， a(n+1) = n a(n) + B, 则有：
a(2) = 1   A  +   B
a(3) = 2!  A + 2 B  +  B
a(4) = 3!  A + 3*2 B + 3B + B
a(5) = 4!  A + 4*3*2 B + 4*3B + 4B + B
....
\(a\left( n\right)=\left( n-1\right)!\ A\ +B\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\left( n-1\right)!}{k!}\)
貌似公式无法进一步简化了

王守恩

设 a(1) = A， a(n+1) = n a(n) + B,  则有：

tmp = A,   tmp = n*tmp + B,   只要A,B是具体数值，电脑都可以把这串数拉出来。   譬如：

1. Table[tmp = A; Join[{tmp}, Table[tmp = n*tmp + B, {n, 2, 20}]], {A, 1, 1}, {B, 0, 5}]

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{1, 2,  6,  24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, 20922789888000, 355687428096000, 6402373705728000, 121645100408832000},
{1, 3, 10, 41, 206, 1237, 8660, 69281, 623530, 6235301, 68588312, 823059745, 10699776686, 149796873605, 2246953104076, 35951249665217, 611171244308690, 11001082397556421, 209020565553572000},
{1, 4, 14, 58, 292, 1754, 12280, 98242, 884180, 8841802, 97259824, 1167117890, 15172532572, 212415456010, 3186231840152, 50979709442434, 866655060521380, 15599791089384842, 296396030698312000},
{1, 5, 18, 75, 378, 2271, 15900, 127203, 1144830, 11448303, 125931336, 1511176035, 19645288458, 275034038415, 4125510576228, 66008169219651, 1122138876734070, 20198499781213263, 383771495843052000},
{1, 6, 22, 92, 464, 2788, 19520, 156164, 1405480, 14054804, 154602848, 1855234180, 24118044344, 337652620820, 5064789312304, 81036628996868, 1377622692946760, 24797208473041684, 471146960987792000},
{1, 7, 26,109, 550, 3305, 23140, 185125, 1666130, 16661305, 183274360, 2199292325, 28590800230, 400271203225, 6004068048380, 96065088774085, 1633106509159450, 29395917164870105, 558522426132532000}

3#——OEIS——A296943。4#,5#,6#——OEIS已经没有了。

如果A,B是其它数值，OEIS基本没有了。通项(一般)公式不好找。

jinanliufanli ！说说你的想法(解题是一个互动的过程)。谢谢！

luyuanhong

上面 tmduser 给出的公式正确。

王守恩  把原题中的 a(n+1)=na(n)+2 误以为 a(n)=na(n-1)+2 ，所以给出的计算结果不对了。

王守恩

luyuanhong 发表于 2024-6-22 10:19
上面 tmduser 给出的公式正确。

王守恩  把原题中的 a(n+1)=na(n)+2 误以为 a(n)=na(n-1)+2 ，所以给出 ...

谢谢陆老师！绕了一圈收获还是有的。

设 a(n) = A,  a(n+1)=(n+C)*a(n) + B,  都可以有通项公式。   譬如：

a(10)=10/10=1,
a(11)=(11*10+10)/10=120/10=12,
a(12)=(12*120+10)/10=1450/10=145,
a(13)=(13*1450+10)/10=18860/10=1886,,
a(14)=(14*18860+10)/10=264050/10=26405,
a(15)=(15*264050+10)/10=3960760/10=396076,
a(16)=(16*3960760+10)/10=63372170/10=6337217,

得到这样一串数：求通项公式。
{1, 12, 145, 1886, 26405, 396076, 6337217, 107732690, 1939188421, 36844580000, 736891600001}