反演变换保圆性的证明

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反演变换保圆性的证明

原创 强子锅锅 强子数学 2024-04-20 21:30 广东

1. 何为反演变换？

数学中的反演变换（Inversion），又称为逆变或反变映射，是一种在欧几里得平面或更广义地在三维空间甚至更高维度空间中定义的特殊几何变换。反演变换以其独特的性质，如保角性、保圆性、对偶性以及对直线和圆的转换规则，在纯数学、工程学、物理学等多个领域中都有重要应用。

设在平面上有一个固定点 O（称为反演中心或反演极），以及一个非零常数 k（称为反演幂）。对于平面上任意一点 A ，反演变换定义如下：

过点 O 作射线 OA ，在直线 OA 上找到一点 A' ，使得有向线段 OA 与 OA' 的乘积等于常数 k ，即：OA×OA'=k ,则称 A' 为 A 的反演点。

2. 复变换 w=1/z ：

考虑复平面中的一个复数点



所以在平面直角坐标系中以坐标原点为中心，反演幂为 1 的反演变换，可以看作在是在对应的复平面中的 倒数变换 + 轴对称变换 。

3. 反演变换的保圆性

如图，以反演中心在原点反演幂“k=1”为例，点 A 在圆 O1 上移动，则其反演点 A' 的轨迹为一个（广义）圆。

注：将直线看作是半径为无穷大的圆





通过上面的推导可以得到

结论 1 ：当 a=0 时，反演变换将直线反演成经过原点（反演中心）的圆，显然当直线经过反演中心时，该直线的反演变换后的图形是其本身。

结论 2 ：当 d=0 时，即当圆 O1 经过原点（反演中心）时，反演变换将该圆反演成一条直线。

结论 3 ：一般情况下当 a≠0 , d≠0 时，反演变换将圆反演成圆。

以上的结论称为反演变换的“保圆性”


反演变换将直线反演成过反演中心的圆


反演变换将过反演中心的圆反演成直线


反演变换将一般的圆反演成圆

强子锅锅