泊松分布：保险公司如何计算保费？

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泊松分布：保险公司如何计算保费？

原创 一只刘狮狮 一只刘狮狮 2024-04-21 22:42 广东

这篇文章想从保费计算的问题引入，探讨为什么概率事件如此反直觉，以及，如何采取有效措施，让我们生活得更从容。


（图片来自电影《决胜 21 点》）

学习概率论，让我越来越不相信自己的直觉。原因在于事件发生的概率，往往不是简单的加减就能得到的，稍不注意，很容易掉进惯性思维的陷阱，被直觉“欺骗”。意识到这一点，对我们采取更有效的应对措施，很关键。

生活中保险公司保费计算问题，就是概率事件反直觉的典型例子，我们可以从中获得非常多的启发。

保险是一种重要的风险控制工具，它是针对小概率事件设置的。针对意外风险，人们共同约定，大家各出一点钱放到保险池子里，谁不幸遇难，就可以从池子里取一部分进行理赔。我们熟悉的保险有意外险、财产险等。

在保费机制的设计中，我认为有两个地方体现了人类的智慧：一是对小概率事件的理解；二是冗余的思想。

这两点经验，对我们理解并应对生活中其他风险，也会很有启发。因此，我想以简单的保险产品设计的问题为例，和大家分享什么是风险，以及如何有效规避风险。

01 提问：保险公司如何计算保费？

我想从一个简单的保费设计问题引入，由此展现保险产品设计背后的思考之美。

现在，让我们一起来看个情景式的小问题：

有一位保险产品经理，想设计一款小众的保险产品。预期有 200 人投保，假设每年出意外的概率是 5% ，每次理赔的金额是 10,000 元，那么每一个投保的人应该缴纳多少钱？

在看到这个问题时，很多人的第一想法多凭直觉（我也不例外）：200 个人，5% 的出事概率，那就是可能会有 10 个人出意外状况，每个人赔 10,000 元，就需要 10 万。摊到 200 个人身上，就 100,000÷200=500 元。每个人摊 500 元。

上面的计算看似正确，是基于不存在随机性的前提，但这和实际情况可能会有很大出入。

由于事情发生具有随机性，因此总存在超出10个人出事的可能性。特别的情况，比如这一年小王非常不走运，在等他申请时，前面已经赔偿过 10 个人了，那他就得不到赔偿了。事实上，如果按照这种思路设计保险产品，即使投保了，也只有一半左右获赔偿的可能性。如果是这样，大家的投保意愿会很低。

看到这里，敏感的人或许就疑惑了，5% 的出事概率，怎么到第 11 个人，赔偿的概率就到一半左右了呢？这不太符合直觉。

如果你在这里，产生了和当时的我一样的困惑，那么我想和你分享这背后有趣的原理，会非常有启发性。这里会涉及到一个重要的数学思维工具——泊松分布。

泊松分布，是保险产品背后思考之美的集中体现。

02 回答：风险的理解和应对

● 用泊松分布模型理解风险

泊松分布是用来描述小概率事件分布的方法。它是指随机事件A发生的概率很小，但实验次数N很大的分布情况。

在书本上，泊松分布是这样定义的：如果随机事件A发生的概率是p，进行n次独立实验，恰巧发生了k次，则相应的概率可以用如下公式计算：

（1.1）

关于上述符号，p 代表事情发生的概率，x = k ，代表遭遇风险的人数。λ 是实验次数 n 乘以每次实验出现情况的可能性 p 的乘积，即 λ = n×p 。简单来说，e 代表增长的极限，代表增长最终会趋近于一个值，它是一个无限不循环小数，约为 2.718281828459045（不需要记，了解就好～）。

泊松分布的公式推导对于事件整体的理解不是最重要的，因此先略过。如果有朋友好奇公式的推导过程，可以看我的《图文详解：泊松分布公式推导》，这篇文章以图为主，清晰地展示了推导过程。

λ = 200×5% = 10 ，接着，我们需要计算 k 小于或等于 10 的概率，因此我们将 k = 0，1，2，…，10 全部代入公式中，一个个单独计算（非常遗憾，目前没有更“聪明”的方法被发现，只能一个个代入计算）。结果如下表所示。



从表可以看出概率随着 k 增加而逐渐变大，也就是说概率随着 k 的增加而逐渐变大。即在 200 个人中，出现 1 个人出意外的情况比没有人出意外的概率大，出现 2 个人出意外的概率比 1 个人出意外的概率大。但在 k = 9 和 k = 10 这两个点，概率达到峰值，如果 k 再增加，超过λ，概率会往下走。这种现象对任何 λ 都成立。为了让大家更直观地看到这一过程，下图用曲线来表示 k 从 0 到 20 的概率情况。



在理解了泊松分布后，我们或许会意识到只要样本量足够大，小概率事件发生的概率就会变高，因此，为了有效应对风险，我们需要一定的冗余。

因此，回到我们前面保费的问题，在 100 个人当中，有 10 个人出现意外的概率约为 58.4% ，也就是是说在特别的情况下，如果这一年小王非常不走运，在等他申请时，前面已经赔偿过 10 个人了，那他就得不到赔偿了。因此，我们在保险设计之初，就要考虑预留更多的钱。

● 冗余的思想

冗余是指人为增加重复部分，其目的是用来对原本的单一部分进行备份，以达到增强其安全性的目的，生活中冗余的例子有备份文件、备用的应急物资、足球比赛中的后备队员等。

那么在保费问题中，预留多少的资金作为冗余是合适的呢？比如如果我们希望能保证 98.5% 的情况获得赔偿，那就需要预设 200 人里会有 17 人发生意外（原因：λ = n×p = 200×5% = 10 ，当 λ = 10 ，累积概率为 98% 时，k = 17 。为了方便，我们可直接查泊松分布表。）



结合上表，将冗余考虑进去，保费应为 17×10000÷200 = 850 元。

想得到更精确的答案，于是我将问题贴到了百度文心大模型里，希望借助计算机的算力，来看看更接近真实情况的值。

经计算机更精确地计算，得出保费为 859.08 元。



在实际生活中，保险公司为了在保证 98% 的情况下能付得出赔偿金，又不至于收投保人太多保费，会将池子扩大，以降低保费和提高自身竞争力。

我们依然可以借助计算机，来帮忙验证一下扩大资金池是否会降低参保人的费用。



根据计算结果，我们会看到当资金池扩大，保费确实降低了。

这也能说明，为什么保险行业中保险公司间会出现相互保的情况。一般情况下，资金池越大，保费越低，但保险公司显然不可能将池子做到无限大，因此，在保险行业，就出现了再保险或保险公司之间相互保的情况。在这种情况下，公司的抗风险能力会增强，除非遇到 2008 年金融危机这样的情况，一般不会支付不起赔偿金。

03 总结

回顾全文，我们从保费设置的问题出发，探讨了为什么风险反直觉，以及如何通过合理设置冗余应对风险。梳理全文，启发主要有 3 点：

首先，我们对概率的理解，往往容易忽视随机性的前提。以保险中意外发生的概率为例，事件出现概率会集中在某个值，但这并不代表其他情况就不会发生。

其次，在实际考虑问题时，我们需要将冗余提前考虑。保险制度将冗余考虑进保费，与古人为应对可能出现的极端气候，在头年就建仓储粮异曲同工。生活中的重要事件，我们也可以适度冗余，比如重要的文件备份，家中储备应急的水和药物等，以备不时之需。

最后，共担的思维，可以让我们的抗风险能力更强。保险行业通过再保险和公司相互保，将资金池越大，以提升抗风险能力。在我们的生活中，当今热门的“共同养老”话题，其实就希望是通过共担的方式，降低风险的例子。

参考资料：

[1] 吴军. 吴军数学通识讲义：原来数学可以这样用[M].第一版. 新星出版社, 2021-4.

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