数学中那些不可思议的大数

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数学中那些不可思议的大数

原创 科学季风 科学季风 2024年06月01日 22:43 广东

我们在生活中，经常会听到“天文数字”这个说法，用来指那些非常大的数字。这是因为宇宙非常广袤浩瀚，天文学研究中涉及的数一般都很大。比如一般在天文学中用光年来表示距离，也就是光在一年的时间内走过的距离。我们知道，光速是每秒约 30 万公里，那么 1 光年的距离大约是 365×24×60×60×300000 = 9,460,800,000,000 公里，即 9.46 万亿公里。银河的直径约为 10 万光年，而目前可观测宇宙的直径约为 930 亿光年。

天文学研究中涉及到那些数字无疑是很大了，但是跟数学中的大数相比，那些天文数字就不足道了。

数学中比较常见的一个大数叫古戈尔（googol）。1 古戈尔等于10^100，即 1 后面跟 100 个 0 ，写出来就是：

10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 。

看起来它似乎并不是很大，写出来才几行。但是，要知道，科学家对当前可观测宇宙中所有原子的数量的估计值才是 10^80 ，比起古戈尔来，小了 20 个数量级，也就是古戈尔的 100 万万亿分之一。即使我们把可观测宇宙中的所有物质全部清空，然后用沙子再把它全部填满，沙粒之间不留空隙，这样下来，宇宙中能装下的全部沙子的总数为 10^95 ，所以可以说 1 古戈尔粒沙子足够填满 10 万个宇宙。

虽然天文学中的数据似乎都比古戈尔小了很多，但有一个和宇宙相关的数字比较接近古戈尔。根据英国物理学家霍金提出的理论，黑洞会通过一种被命名为“霍金辐射”的方式损失质量和能量。一个质量为太阳质量 100 亿倍的超级黑洞，经过 1 古戈尔年后，将会辐射掉其所有质量。那个时候，整个宇宙不再有热动力学意义上的自由能量，达到了一种被物理学家称为“热寂（heat death）”的状态。从这个角度来说，宇宙的寿命似乎就是 1 古戈尔年。

古戈尔是由美国数学家爱德华·卡森纳（Edward Kasner）在 1920 年提出来的，古戈尔这个名字据说是当时卡森纳九岁的外甥起的。卡尔森把古戈尔写入了他 1940 出版的一部作品《数学和想象》，从此古戈尔便成为一个常用的数学常数。著名的科技公司谷歌（Google）在创立之初，其创始人在为公司命名时就是从古戈尔这个常数获得了灵感，他们想通过这样的一个名字传递出谷歌公司对海量的互联网信息的处理能力。

爱德华·卡森纳在定义古戈尔时，进一步定义了一个更大的数：古戈尔普勒克斯（Googolplex），1 古戈尔普勒克斯等于 10 的古戈尔次方：10^googol ，即 1后面跟 1 古戈尔个 0 。1 古戈尔这个数字可以用区区几行就写完，但是如果要把 1 古戈尔普勒克斯写出来，就没那么容易了。因为它有 10^100 个 0 ，如果把 0 写得跟沙子大小差不多，那么把整个可观测的宇宙用来装这些 0 ，塞得满满的，也只能装下十万分之一的 0 。有意思的是，谷歌公司的总部园区就叫谷歌普勒克斯（Googleplex）。

古戈尔普勒克斯虽然大得超乎想象，但是它并未在数学定理的描述或证明中派上用场。另外有一些大数在数学研究和证明的过程中实实在在的发挥了作用，并且它们比古戈尔普勒克斯还要大得多。格雷厄姆数（Graham's number）就是其中一个。

格雷厄姆数涉及到拉姆齐定理 （Ramsey theory）中的一个问题，格雷厄姆数就是这个问题答案的上限。这个问题可以大概这样来描述：

给定一个 n 维的超立方体，连接这个立方体的每对几何顶点，得到这 2^n 个顶点的完全连接图。将该图的每条边涂成红色或蓝色。那么，n 的值至少要多大，才能确保至少存在四个颜色相同的顶点在同一个平面？以下是用 3 维立方体的举例示意，可以看到，所有顶点两两相连并着色后，有四个顶点间的连线同色且共面，但是，如果我们把这四个顶点之间的六条边任意一条边的颜色改为蓝色，就达不到我们想要的效果了。所以，显然 n 至少比 3 要大。


图 1. 拉姆齐定理四顶点同色共面问题

格雷厄姆数是如此的大，以至于用常规的指数形式已经无法将它写出来，如果硬要写成指数塔的形式，估计指数塔的高度就会塞满整个宇宙了。为了表示这种超级大数，数学家专门发明了一种表示方法：克努特向上箭头表示法（Knuth's up-arrow notation）。其定义如下：

1、一个向上箭头 ↑ 的含义和幂运算相同，a↑b 表示 a 自乘 b 次，结果为 a^b ；

2、两个箭头：a↑↑b 需要展开为 b 个 a 的单箭头运算，然后再按单箭头规则进行计算，即：



注意上面等式最右边的多层指数（或者叫指数塔）的表示法中，计算时要从上往下把括号展开。如果是从下往上计算，结果差异会非常大，如下是不同计算方向的举例对比：



3、三个箭头：a↑↑↑b 需要展开为 b 个 a 的双箭头运算，即：



然后再从里到外依次打开括号进行计算。举例：如果 a 和 b 都等于 3 ，上式可写成：3↑↑↑3 = (3↑↑ (3↑↑3)) ，因为

3↑↑3 = 3↑27 = 3^27 = 7,625,597,484,987 ，所以：3↑↑↑3 = 3↑↑7,625,597,484,987 ，这个表达式展开为单箭头和指数塔为如下形式：



3↑↑↑3 已经是一个非常巨大的数了，把它完整的写出来，又得塞满并超过整个可观测宇宙。

4、n 个箭头：简便起见，用 ↑^n 表示连续 n 个箭头。按照以上方式，a↑^n b 先展开为 n-1 个箭头：



然后在上式中，从最里面的括号，即 a↑^(n-1) b依次往外计算。

知道了克努特箭头表示法，接下来可以说格雷厄姆数的定义了。格雷厄姆数的定义从四个箭头运算开始。首先定义 G(1) ：

G(1) = 3↑↑↑↑3 = (3↑↑↑(3↑↑↑3))

前面我们已经知道 3↑↑↑3 是一个非常大的数，那么 G(1) 相当于可以展开为该大数那么多个 3 进行双箭头运算：



从定义来看，G(1) 已经大得超乎想象了，然而它只是格雷厄姆数定义的开始。接下来还有：

G(2) = 3↑^G(1) 3，即两个 3 之间有 G(1) 个箭头。

G(3) = 3↑^G(2) 3，即两个 3 之间有 G(2) 个箭头。

……

G(64) = 3↑^G(63) 3，即两个 3 之间有 G(63)个箭头。

格雷厄姆数就是 G(64) 。

从 G(1) 开始，G 序列中的每一个数都在快速扩大，因为每增加一级，都是拿上一级的结果直接作为箭头数量，所以到 G(64) ，已经无法用填不填满宇宙或者填满多少个宇宙这样的物理方式来比喻其大小了。不过，虽然格雷厄姆数的大小和数位难以描述，该数的最后 13 位我们可以了解一下，是 7262464195387 。

格雷厄姆数是由美国数学家罗纳德·格雷厄姆（Ronald Graham）在 1977 年定义的，用于解决上述拉姆齐定理中的问题，当时格雷厄姆数被称为曾用于数学证明的最大整数。不过，后来数学家在解决其他问题时，又用到了一个比格雷厄姆数大得多的数，那就是 TREE(3) 。这里的 TREE 就是字面意思：树，因此这是一个和种树有关的问题。

这里先简单介绍一下数学（或计算机科学）中树的概念。在数学中，树是一个抽象概念，用来表示一种数据结构。树由两个元素构成：节点（node）、边（edge），节点之间由边连接。如下就是一棵树的示意图。


图 2. 数学中的树示意图

一棵树至少有一个节点。如果是多个节点，则将节点进行分层区分，比如上图中节点 5 是第一层，2、6 是第二层，依此类推。一个节点和与之相连的下层节点形成父子关系，如上图中节点 2 是 1、4 的父节点，1、4 是 2 的子节点。在具体的问题中，树的节点或边可能会被赋予不同的颜色。

TREE(3) 就来自于数学上的一个种树游戏。所谓种树，就是一棵接一棵地生成符合规则的树，规则有两条：

1、第 1 棵树最多包含 1 个节点，第 2 棵树最多包含 2 个节点…，第 N 棵最多包含 N 个节点；

2、当种出来的一棵树包含了前面已经种下的树时，游戏结束。如下图中的 B 树就包含了 A 树，因为 B 树虚线框中的部分和 A 树完全一样。当然，两棵树完全相等时也认为是一种包含。


图 3. 树之间包含关系示意图

种树问题就是找到在不违反规则的情况下，最多能够种下多少棵树。

如果树的节点只能有一种颜色，当种第二棵树时，游戏就结束了，因为第二棵必然会包含第一棵树或等同于第一棵树。所以 TREE(1) = 1 。


图 4. TREE(1) 示意图

如果树的节点有两种可选颜色，当种第四棵树时，游戏结束，因为第四棵无论怎么设计，必然会包含或等同于前面种下的树。所以 TREE(2) = 3 。


图 5. TREE(2) 示意图

如果有三种可选颜色，在不违反规则的情况下可以种到多少棵树呢？根据 TREE(1) 和 TREE(2) 的情况，我们或许直觉判断种不了很多棵树，比如下面种的前 12 棵树都是符合规则的。所以，是不是种到几十棵时游戏就结束了？


图 6. TREE(3) 示意图（局部）

然而，在这里我们的直觉却大大的错了。TREE(3) 是一个大到不可思议的数，比格雷厄姆数还要大上许多许多。

在大多数物理和数学的研究场景下，指数表示法都是一种很高效的表示方法，就算大如古戈尔普勒克斯这样的数，用指数表示，顶多四层的指数塔就可以了。但是到了格雷厄姆数这个级别，指数表示法显然不够用了，如果 G(1) 要写成指数塔的形式，其高度已经超乎想象了，更别说 G(64) 。所以数学家用克努特箭头表示法来表示格雷厄姆数，用克努特箭头形成的 G 序列，也可以认为是一种“塔”。格雷厄姆数需要 64 级的 G 序列塔来表示。但是，即使 G 序列塔这么厉害的方法，对 TREE(3) 来说还是远远不够的。如果一定要用 G 序列塔来表示 TREE(3) ，塔的级数将会是一个大到难以想象的数字，有多大呢？至少 3 ↑^187196 3 ，也就是 3 和 3 之间 187196 个箭头。并且，这还只是 TREE(3) 的一个下限，所以没法用 G 序列塔把 TREE(3) 表示出来。要简洁的表示 TREE(3) ，需要用到更高效的表示法，比如快速增长体系（fast-growing hierarchy），这种表示法较为复杂，本文就不介绍了。

TREE(3) 目前还不是一个确定的值，美国数学家约瑟夫·克鲁斯卡尔（Joseph Kruskal）在 1960 年已经证明了 TREE(3) 是一个有限值。另一名美国数学家哈维·弗里德曼（Harvey Friedman）在 1980 年代计算出了 TREE(3) 的上述下限值。

所以，三色节点的种树游戏种出来的树虽然多到不可思议，但它终究有一天会结束，只是这一天会在难以想象的遥远未来，遥远到任何试图用物理方法来描绘或比喻都是徒劳，遥远到无比巨大的格雷厄姆数在它面前看起来几乎就等于 0 。这恐怕就是数学和自然科学的最大区别，自然科学研究的是实际的物理世界，研究的方法主要是观察和实验，研究涉及的数字终究不能天马行空的随意扩大。而数学研究数量、结构和变化，通过抽象模型和逻辑推理来研究，研究对象和研究方法都可以脱离于现实世界，不受物理世界的限制，所以数学中的数字可以任意扩大，唯一能限制它的或许就是人类的想象力和理解力了。

科学季风