不定方程a^2=a*b^2-b^2*c+a^2*c的整数解

yangchuanju · 发表于 2024-7-7 21:27

yangchuanju 发表于 2024-7-7 17:40
c=7939（163类+883类),4051（163类+451类)的整数解预测及检验：
a b c a^2 a*b^2-b^2*c+a^2*c 检验 ...

10万内4051,7939,22051类参数c各有12,6,2组二重解，最小的一组分别是c=4051,7939,22051：
二重解解增二重解解增
4051 —— 52651 8100
12151 8100 60751 8100
20251 8100 68851 8100
28351 8100 76951 8100
36451 8100 85051 8100
44551 8100 93151 8100
比等于3,5,9,15

二重解解增
7939 ——
23815 15876
39691 15876
55567 15876
71443 15876
87319 15876
比等于3,7,9

二重解解增
22051 ——
66151 44100
110251 44100
154351 44100
198451 44100
242551 44100
比等于3,5,7,15

yangchuanju · 发表于 2024-7-7 21:33

1000万内有25组三重解，100万有3组三重解，最小的一组是c=198451：
序号三重解解增
1 198451 ——
2 595351 396900
3 992251 396900
4 1389151 396900
5 1786051 396900
6 2182951 396900
7 2579851 396900
8 2976751 396900
9 3373651 396900
10 3770551 396900
11 4167451 396900
12 4564351 396900
13 4961251 396900
14 5358151 396900
15 5755051 396900
16 6151951 396900
17 6548851 396900
18 6945751 396900
19 7342651 396900
20 7739551 396900
21 8136451 396900
22 8533351 396900
23 8930251 396900
24 9327151 396900
25 9724051 396900
比等于3,5,7,9,15

求算三重解计算式
4051+8100x=7939+15876y=22051+44100z

yangchuanju · 发表于 2024-7-7 21:36

163系列参数c，两个整数解的b/a=3和9：
163 9883 19603 29323 39043
487 10207 19927 29647 39367
811 10531 20251 29971 39691
1135 10855 20575 30295 40015
1459 11179 20899 30619 40339
1783 11503 21223 30943 40663
2107 11827 21547 31267 40987
2431 12151 21871 31591 41311
2755 12475 22195 31915 41635
3079 12799 22519 32239 41959
3403 13123 22843 32563 42283
3727 13447 23167 32887 42607
4051 13771 23491 33211 42931
4375 14095 23815 33535 43255
4699 14419 24139 33859 43579
5023 14743 24463 34183 43903
5347 15067 24787 34507 44227
5671 15391 25111 34831 44551
5995 15715 25435 35155 44875
6319 16039 25759 35479 45199
6643 16363 26083 35803 45523
6967 16687 26407 36127 45847
7291 17011 26731 36451 46171
7615 17335 27055 36775 46495
7939 17659 27379 37099 46819
8263 17983 27703 37423 47143
8587 18307 28027 37747 47467
8911 18631 28351 38071 47791
9235 18955 28675 38395 48115
9559 19279 28999 38719 48439
比等于3,9

883系列参数c，两个整数解的b/a=3和7：
883 52039
2647 53803
4411 55567
6175 57331
7939 59095
9703 60859
11467 62623
13231 64387
14995 66151
16759 67915
18523 69679
20287 71443
22051 73207
23815 74971
25579 76735
27343 78499
29107 80263
30871 82027
32635 83791
34399 85555
36163 87319
37927 89083
39691 90847
41455 92611
43219 94375
44983 96139
46747 97903
48511 99667
50275
比等于3,7

451系列参数c，三个整数解的b/a=3,5和15：
451 25651 50851 76051
1351 26551 51751 76951
2251 27451 52651 77851
3151 28351 53551 78751
4051 29251 54451 79651
4951 30151 55351 80551
5851 31051 56251 81451
6751 31951 57151 82351
7651 32851 58051 83251
8551 33751 58951 84151
9451 34651 59851 85051
10351 35551 60751 85951
11251 36451 61651 86851
12151 37351 62551 87751
13051 38251 63451 88651
13951 39151 64351 89551
14851 40051 65251 90451
15751 40951 66151 91351
16651 41851 67051 92251
17551 42751 67951 93151
18451 43651 68851 94051
19351 44551 69751 94951
20251 45451 70651 95851
21151 46351 71551 96751
22051 47251 72451 97651
22951 48151 73351 98551
23851 49051 74251 99451
24751 49951 75151
比等于3,5,15

太阳 · 发表于 2024-7-8 07:46

已知:整数\(a\ne0\)，\(c\ne1\)，\(m＞0\)，\(2m＝b-1\)，奇数\(b＞0\)，素数\(p＞0\)
方程\(\frac{a^2-m^2}{c}-b=0\)，没有负整数解
求证:\(c＝p\)
已知:\(\frac{a^2-m^2}{c}＝b\)，\(2m＝b-1\)，整数\(a\ne0\)，\(-1＞c\)，\(m＞0\)
奇数\(b＞0\)，合数\(p＞0\)
求证:\(c＝p\)
\(2m＝b-1\)，奇数\(b＞1\)，方程\(\frac{a^2-m^2}{c}-b=0\)，没有负整数解，判断\(b\)是素数
判断方程有没有负整数解非常困难，如果能找到捷径方法判断方程没有负整数解，素数公式找到了

yangchuanju · 发表于 2024-7-8 09:04

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-7-8 09:05 编辑

整系数不定方程a^2=a*b^2-b^2*c+a^2*c总有不少整数解
前曾论述了给定一个正整数c，不定方程可能没有整数解，也可能有1组、2组、3组或多组整数解。
现令b/a等于2,3,4,……,16,……，总能找到多种正整数解(a,b,c)；当b/a不是整数时，也可能有整数解存在，在此不论述；
当两组或多组数字中有相同的参数c时，该c就有两组或多组正整数解，其b/a各不相同：
请注意，所有组中的参数c不会覆盖全体正整数！

b=2a
a^2=4a^3-4a^2*c+a^2*c
1=4a-4c+c
3c=4a-1
c=(4a-1)/3
a c
1 1
4 5
7 9
10 13
13 17
16 21
19 25
22 29
25 33
28 37
31 41
34 45
37 49
40 53
43 57
46 61
49 65
52 69
55 73
58 77

yangchuanju · 发表于 2024-7-8 09:09

b=3a
a^2=9a^3-9a^2*c+a^2*c
1=9a-9c+c
8c=9a-1
c=(9a-1)/8
a c
1 1
9 10
17 19
25 28
33 37
41 46
49 55
57 64
65 73
73 82
81 91
89 100
97 109
105 118
113 127
121 136
129 145
137 154
145 163
153 172

b=4a
a^2=16a^3-16a^2*c+a^2*c
1=16a-16c+c
15c=16a-1
c=(16a-1)/15
a c
1 1
16 17
31 33
46 49
61 65
76 81
91 97
106 113
121 129
136 145
151 161
166 177
181 193
196 209
211 225
226 241
241 257
256 273
271 289
286 305

b=5a
a^2=25a^3-25a^2*c+a^2*c
1=25a-25c+c
24c=25a-1
c=(25a-1)/24
a c
1 1
25 26
49 51
73 76
97 101
121 126
145 151
169 176
193 201
217 226
241 251
265 276
289 301
313 326
337 351
361 376
385 401
409 426
433 451
457 476

yangchuanju · 发表于 2024-7-8 09:12

b=6a
a^2=36a^3-36a^2*c+a^2*c
1=36a-36c+c
35c=36a-1
c=(36a-1)/35
a c
1 1
36 37
71 73
106 109
141 145
176 181
211 217
246 253
281 289
316 325
351 361
386 397
421 433
456 469
491 505
526 541
561 577
596 613
631 649
666 685

b=7a
a^2=49a^3-49a^2*c+a^2*c
1=49a-49c+c
48c=49a-1
c=(49a-1)/48
a c
1 1
49 50
97 99
145 148
193 197
241 246
289 295
337 344
385 393
433 442
481 491
529 540
577 589
625 638
673 687
721 736
769 785
817 834
865 883
913 932

b=8a
a^2=64a^3-64a^2*c+a^2*c
1=64a-64c+c
63c=64a-1
c=(64a-1)/63
a c
1 1
64 65
127 129
190 193
253 257
316 321
379 385
442 449
505 513
568 577
631 641
694 705
757 769
820 833
883 897
946 961
1009 1025
1072 1089
1135 1153
1198 1217

b=9a
a^2=81a^3-81a^2*c+a^2*c
1=81a-81c+c
80c=81a-1
c=(81a-1)/80
a c
1 1
81 82
161 163
241 244
321 325
401 406
481 487
561 568
641 649
721 730
801 811
881 892
961 973
1041 1054
1121 1135
1201 1216
1281 1297
1361 1378
1441 1459
1521 1540

yangchuanju · 发表于 2024-7-8 09:15

b=10a
a^2=100a^3-100a^2*c+a^2*c
1=100a-100c+c
99c=100a-1
c=(100a-1)/99
a c
1 1
100 101
199 201
298 301
397 401
496 501
595 601
694 701
793 801
892 901
991 1001
1090 1101
1189 1201
1288 1301
1387 1401
1486 1501
1585 1601
1684 1701
1783 1801
1882 1901

b=11a
a^2=121a^3-121a^2*c+a^2*c
1=121a-121c+c
120c=121a-1
c=(121a-1)/120
a c
1 1
121 122
241 243
361 364
481 485
601 606
721 727
841 848
961 969
1081 1090
1201 1211
1321 1332
1441 1453
1561 1574
1681 1695
1801 1816
1921 1937
2041 2058
2161 2179
2281 2300

b=12a
a^2=144a^3-144a^2*c+a^2*c
1=144a-144c+c
143c=144a-1
c=(144a-1)/143
a c
1 1
144 145
287 289
430 433
573 577
716 721
859 865
1002 1009
1145 1153
1288 1297
1431 1441
1574 1585
1717 1729
1860 1873
2003 2017
2146 2161
2289 2305
2432 2449
2575 2593
2718 2737

b=13a
a^2=169a^3-169a^2*c+a^2*c
1=169a-169c+c
168c=169a-1
c=(169a-1)/168
a c
1 1
169 170
337 339
505 508
673 677
841 846
1009 1015
1177 1184
1345 1353
1513 1522
1681 1691
1849 1860
2017 2029
2185 2198
2353 2367
2521 2536
2689 2705
2857 2874
3025 3043
3193 3212

yangchuanju · 发表于 2024-7-8 09:16

b=14a
a^2=196a^3-196a^2*c+a^2*c
1=196a-196c+c
195c=196a-1
c=(196a-1)/195
a c
1 1
196 197
391 393
586 589
781 785
976 981
1171 1177
1366 1373
1561 1569
1756 1765
1951 1961
2146 2157
2341 2353
2536 2549
2731 2745
2926 2941
3121 3137
3316 3333
3511 3529
3706 3725

b=15a
a^2=225a^3-225a^2*c+a^2*c
1=225a-225c+c
224c=225a-1
c=(225a-1)/224
a c
1 1
225 226
449 451
673 676
897 901
1121 1126
1345 1351
1569 1576
1793 1801
2017 2026
2241 2251
2465 2476
2689 2701
2913 2926
3137 3151
3361 3376
3585 3601
3809 3826
4033 4051
4257 4276

b=16a
a^2=256a^3-256a^2*c+a^2*c
1=256a-256c+c
255c=256a-1
c=(256a-1)/255
a c
1 1
256 257
511 513
766 769
1021 1025
1276 1281
1531 1537
1786 1793
2041 2049
2296 2305
2551 2561
2806 2817
3061 3073
3316 3329
3571 3585
3826 3841
4081 4097
4336 4353
4591 4609
4846 4865

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