荷兰数学家布劳威尔：只有建立在“数学直觉”之上的数学才是真正可靠的

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荷兰数学家布劳威尔：只有建立在“数学直觉”之上的数学才是真正可靠的

来源：中国科学院数学与系统科学研究院 2024 年 06 月 06 日 15:17 北京



从直觉主义立场出发，在数学基础研究方面，布劳威尔采取的是激进的立场。在他看来，已有的数学并不都是可靠的，必须按照某种更为严格的要求对此进行全面审查，而且应当毫不犹豫地舍弃那些“不可靠”的概念和方法，代之以新的“可靠”概念和方法。直觉主义的主要特点就在于：“我们借助于可信性进行思考。”

当罗素为古典数学寻找一种逻辑基础以避免悖论时，一位优秀的年轻数学家登场了，他说：这一切几乎都是错误的，都应被抛弃。这位打算发动另一场从头开始重建数学的人物就是荷兰数学家布劳威尔。

布劳威尔（1881—1966）出生于荷兰北部港口鹿特丹附近的一个小镇。他很早就显露出与众不同的才华：高中毕业仅仅两年，他就掌握了进入大学预科所必需的希腊文和拉丁文。1897 年，他考入阿姆斯特丹大学攻读数学。进入大学后，他很快就掌握了当时通行的各门数学。大学时，布劳威尔接触到了拓扑学和数学基础，并且终生钟爱它们。学习数学的同时，他还对哲学非常感兴趣，尤其热衷于研究神秘主义。1907 年，他获得了博士学位，他的博士论文题目是：《论数学基础》。这是他攻读博士学位期间，以极大的热情注视罗素与庞加莱关于数学的逻辑基础的论战后做出的个人思考的小结。后来，这一论文成为阐述其直觉主义观点的代表性著作。

布劳威尔的晚年在“莫须有的经济顾虑和对疾病妄想的恐惧”中度过。1966 年，85 岁的他在穿过自家门前一条街道时被一辆车撞死。

在完成了博士论文后，布劳威尔决定暂时把他备受争议的观点搁置起来，把注意力集中到证明他的数学能力上。他选择的竞技场是当时刚刚兴起的拓扑学领域。

在 1907 年至 1912 年这短短的几年里，布劳威尔完成了数量惊人的 59 篇论文，其中包括许多重要成果，布劳威尔不动点定理就是这一时期他的一个重要贡献。1910 年，29 岁的布劳威尔发表这一基本定理时，曾给大数学家希尔伯特留下深刻印象。希尔伯特邀请这位看来前途无量的年轻人加入自己那份著名杂志《数学年鉴》的编委会，后来希尔伯特对此后悔不已。

由于在拓扑学上的出色成就，布劳威尔成为享有世界声誉的数学家。1912 年，他被任命为阿姆斯特丹大学的数学教授，并被推选为荷兰皇家科学院院士。但在 1912 年的就职演说上，出乎人们的意料，他不谈他那颇为得意的拓扑学，反而大讲他对数学基础的新见解。其实，这意料之外的事也在情理之中，因为他只不过是重拾几年前的热情罢了。

在 1912 年后的一段时间，布劳威尔在各种学术刊物上发表一系列论文，宣传和论证自己的观点，从而开创了数学基础研究的直觉主义学派。虽然在布劳威尔之前，克罗内克和庞加莱等已经提出了一些零散的直觉主义的意见，但直觉主义作为一种学派的形成，仍然要归于布劳威尔。

布劳威尔在数学上开创这一派别，是与他致力于哲学研究分不开的。他在一系列哲学论文里，详尽地阐述了他那具有高度个人特色的哲学见解，而他正是从这样的哲学出发，批判了先前的数学赖以建立的基础。

在 1907 年的论文中，布劳威尔从哲学的立场对逻辑做出评论。他指出，逻辑是从数学派生出来的。他还指出，逻辑隶属于语言，逻辑法则的用处是导出更多的陈述；然而，逻辑绝不是揭示真理的可靠工具，用其他办法不能得到的真理，用逻辑也照样不能推导出来。布劳威尔有一个著名的论断：是逻辑依赖数学，而不是数学依赖逻辑。在他看来，逻辑不过是一种具有特殊的一般性的数学定理。也就是说，逻辑只是数学的一部分，而决不能作为数学的基础。逻辑主义者关于逻辑和数学关系的断言在直觉主义者这里完全被颠倒过来了。

在断然否定了逻辑是人们站立的基地之后，布劳威尔对数学的可靠基础给出了与逻辑主义立场直接对立的回答：只有建立在“数学直觉”之上的数学才是真正可靠的。在他这里，直觉取代了逻辑而成为数学的基础。

如何理解这种数学直觉呢？布劳威尔认为这种直觉来自于时间。他强调了“短暂感觉”，认为它是数学的发端：自我从“短暂感觉”中分离出了不同的感受。这种“短暂感觉”乃是某一生活瞬间分解成不同质的两部分，其中一部分比另一部分先退出了生活，但它们仍然留在记忆里。数学最基础的直觉就是这样的短暂感觉的结构的抽象——抛弃了一切内容的数学抽象。于是，从原始的数学直觉中可以产生所有的有限序数，即潜无限意义下的自然数。

由于确信数学的基础在于数学直觉，而自然数又恰来自于这种直觉。因此，布劳威尔以自然数理论，而不是以集合论为基础来开展他的数学理论。

从直觉主义立场出发，在数学基础研究方面，布劳威尔采取的是激进的立场。在他看来，已有的数学并不都是可靠的，必须按照某种更为严格的要求对此进行全面审查，而且应当毫不犹豫地舍弃那些“不可靠”的概念和方法，代之以新的“可靠”概念和方法。直觉主义的主要特点就在于：“我们借助于可信性进行思考。”

在直觉主义眼中，什么才是“可靠”的概念和方法呢？

布劳威尔的回答是：数学概念在“主观直觉上的可构造性”是数学理论可靠性的唯一标准，真正的数学意味着能够通过数学直觉得到构造。从直觉主义观点出发，布劳威尔声称数学的对象是从理智的构造得来的，他坚持所有的定义和命题都必须通过构造来实现，指出数学证明应要求在有限步可以确定到任何需要的精度。在这种观点下，直觉主义者提出了自己的著名口号：“存在必须等于被构造。”

在他们看来，悖论在集合论中的出现并不是一件偶然的事情，也不可能通过小修小补就奏效。它实质上是整个数学所感染疾病的一个症状，这种疾病表明已有数学的“不可靠性”问题不能通过局部修改和限制完成，而必须依据“可信性”的标准对全部已有数学进行彻底审查和改造。

直觉主义批判锋芒之所向，许多已有的数学成果、数学方法、传统逻辑法则等都成了被质疑的对象。

布劳威尔否定排中律的有效性。他指出，排中律——间接证明方法的基石——是从有限集合抽象出来的，不能无限制地使用到无穷集合中。这样所有纯粹“存在性的证明”在直觉主义者看来都成了被拒绝的对象。

在无限问题上，他承认潜无限，而不承认实无限。而且，他认为数学无穷集合只有一个基数，即可数无穷，超限数是胡说八道。

由于坚持构造性的立场，由于对传统逻辑法则普遍有效性和实无限概念与方法的否定，直觉主义对于已有数学知识的大部分采取否定态度。它的否定范围是如此广泛，以致如果接受这种观点，那么已有的数学知识将“支离破碎”。但是，直觉主义者认为，这是使数学合理化的必要一步。

不过，直觉主义者并不仅仅是“批判者”，他们也是建设者。他们力图按照他们认为最终可接受的形式来重建数学，即按照“构造性”的标准重建数学。为了从自然数理论出发开展其数学，关键的第一步在于如何依据构造性的标准建立实数理论，以便为微积分理论提供一个可靠的直觉基础。布劳威尔通过提出“实数生成子”，特别是在 1918 年引进“展形”概念完成了这一工作，对此人们给予了很高评价。不过，直觉主义的目标却远远没有实现。

来源：图灵新知