原函数与导函数的对称性和周期性

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原函数与导函数的对称性和周期性

原创 桢提数 桢提数 2024 年 05 月 26 日 10:44 福建

条件: f(x) 是定义在 R 上的连续且可导函数。

先看结论：

一、导函数的奇偶性与周期性

1. 若 f(x) 关于 x=a 对称，则 f '(x) 关于点 (a,0) 对称。

特殊情况：偶函数的导函数为奇函数。

2. 若 f(x) 关于点 (a,b) 对称，则 f '(x) 关于直线 x=a 对称。

特殊情况：奇函数的导函数为偶函数。

3. 若 f(x) 是周期为 T 的函数，则 f '(x )也是周期为 T 的函数。

二、原函数的奇偶性与周期性

1. 若 f '(x) 关于点 x=a 对称，则 f(x) 关于点 (a,f(a)) 对称。

特殊情况：f '(x) 为偶函数，则过原点的 f(x) 为奇函数。

2. 若 f '(x) 关于点 (a,b) 对称，

若 b=0 ，则 f(x) 关于 x=a 对称；

若 b≠0 ，则 f(x) 不关于 x=a 对称。

特殊情况：奇函数的原函数为偶函数。

3. 若 f '(x) 是周期函数，f(x) 不一定是周期函数。







修改于 2024 年 06 月 20 日

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