\(\Large\textbf{康托：}|\mathscr{P}(S)|> |S|\)

谢芝灵

elim 发表于 2024-12-25 10:36
谢邪认为人类不知错，只认精神病的理论．
其实没有人不认康托有精神病甚至死于精神
病．但是拿这事否定主 ...

定义了数与非数,定义了有限与无限.
你说的{elim
你也没有基数的概念．  发表于 2024-12-25 11:22
elim
你不知道人类数学的无穷，映射是什么意思．自然看不懂主贴了．  发表于 2024-12-25 11:16}

全部是错误的.
你们人类的数学基础概念 也是错误的.

elim

谢邪定义了啥？什么也没有啊！须知定义也是需要基本公设
及形式语法语义约定的．这就是集合论与数理逻辑．从谢邪
的贴子看，它没有读过数理逻辑和集论．难怪它与人类数学
没有对话的可能．它的正确与否与人类数学也没有关系．

谢芝灵

既单又满的映射叫作双射或1-1对应．此时称 \(A{,}B\)对等．称彼此对等的集合具有相同的基数．故基数是对等这一
等价关系下的等价类．

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人类的有限概念可以集合,可以数学分析。
我不反对有限才能集合,我仅仅反对无限集合.因为无限集没有数学意义(基数\(\aleph\)没有数学意义).

每个自然数只能是有限的(数与非数定义,有限与无限的定义),
所以 1-1对应的对像是单个的自然数.\(\Rightarrow\) 符合有限与数的定义,符合数才能进行数学分析.

不允许夹带私货,用{1-1对应的对像是单个的自然数}夹带无限概念的分析.
要讨论无限概念,必须定义(数与非数定义,有限与无限的定义),且用定义证明无限的概念也是数。

因为 每一个自然数都是有限数,所以1-1对应的只能是有限(有限集),

无穷无限不能集(集合的定义证明了无限不能集),如果非要无限集,则无限集没有数学意义.\(\Rightarrow\) 原因是 无限概念的基数\(\aleph\)不是数,它没有数学意义。

当承认 任意自然数是有限的,则 1-1对应 只适合有限概念.

elim

集合\(A\)与\(B\)的直积是集合\(A\times B:=\{(a,b)\mid a\in A, \,b\in B\}\)
称 \(f\)为\(A\)到\(B\)的映射, 记作 \(f: A\to B\), 如果以下三条成立：
\((1)\quad f\subset A\times B\) 即 \(f\) 是 \(A\times B\) 的子集(\(A\)到\(B\)的关系)．
\((2)\quad \forall a\in A\,\exists b\in B\,((a,b)\in f)\) 即\(A\)的元皆参与了关系\(f\)．
\((3)\quad (a,b),(a,c)\in f\implies b=c.\;\)即\(b\)由\(a,\;f\)唯一确定，
记作\(b=f(a).\)   记\(A\)到\(B\)的映射全体(集合)为\(B^A.\)

称 \(f(E):=\{f(x)\mid x\in E\},\;(E\subset A)\) 为\(E\)在\(f\)下的像．
设 \(f\in B^A,\)   若\(x\ne y\implies  f(x)\ne f(y)\;(\forall x,y\in A)\)
则称\(f\)为单射；若 \(f(A)=B\),  则称\(f\)为满射．
既单又满的映射叫作双射或1-1对应．此时称 \(A,B\)
对等．称彼此对等的集合具有相同的基数．故基数是对等这一
等价关系下的等价类．集\(S\)的基数记作\(|S|\).

根据选择公理，任给二集合\(A,\,B\), 恒存在其中之一到另一的单射.
若有单射 \(f: C\to D\) 则称\(|C|\le |D|\);
用 \(|A|<|B|\)表示\((|A|\le|B|)\wedge(|A|\ne|B|)\), 为方便引入表达式
\((|A|>|B|)\iff(|B|<|A|),\;(|A|\ge |B|)\iff (|B|\le |A|)\)

【Cantor-Bernstein-Schroder 定理】\(\small(|A|\le |B|)\wedge (|B|\le |A|) \implies |A|=|B|\)
换句话说，若存在单射 \(f: A\to B,\;\; g: B\to A\), 则存在双射 \(h: A\to B\)|
即存在 \(A\),\(B\) 之间的1-1对应.  这个定理的证明网上可搜到。

综上,集合的基数大小关系满足三歧性：\(|A|< |B|, |A|=|B|, |A|>|B|\)
三者有且仅有其一成立。

elim

蠢疯顽瞎，jzkyllcjl  均集论白痴，根本看不懂主贴，自然装聋作哑。
这个主题浏览的人不少，参与讨论的还没有.