\(\LARGE^*\;\;\;\textbf{康托：}|\mathscr{P}(S)|> |S|\)

春风晚霞

        elim你根本不知道什么是无穷？什么是趋向无穷？什么是无穷数？什么是超穷数？就根本不知道\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、ω、\(\aleph_0\)、\(\aleph\)各自的定义以及它们与∞的区别与联系！你根本不知道单调集列极限集的定义的的自洽性(即与交并运算规律的兼容性)！你根本不知道你的“臭便”之法挂一漏万的荒谬性。你根本就不知道纯粹数学的对与错！像你这样连无穷数都不认可的民科领袖，还有谁能奢望你正确解读集合论和自然数理论呢？\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)、\(\mathbb{N}_∞≠\phi\)这是数学界的共识.两年来你反对的不是春风晚霞，你反对的是威尔斯特拉斯的极限定义；你反对的是康托尔非负整数理论；你反对的皮亚诺公理体系；你反对的是单调极列集限集定义；……像你这样什么都反对的民科领袖，还好意思把被批烂批臭的宿帖、观点拿出来显摆，真是“人不要脸，所向无敌”哟！

春风晚霞

        elim你根本不知道什么是无穷？什么是趋向无穷？什么是无穷数？什么是超穷数？就根本不知道\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、ω、\(\aleph_0\)、\(\aleph\)各自的定义以及它们与∞的区别与联系！你根本不知道单调集列极限集的定义的的自洽性(即与交并运算规律的兼容性)！你根本不知道你的“臭便”之法挂一漏万的荒谬性。你根本就不知道纯粹数学的对与错！像你这样连无穷数都不认可的民科领袖，还有谁能奢望你正确解读集合论和自然数理论呢？\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)、\(\mathbb{N}_∞≠\phi\)这是数学界的共识.两年来你反对的不是春风晚霞，你反对的是威尔斯特拉斯的极限定义；你反对的是康托尔非负整数理论；你反对的皮亚诺公理体系；你反对的是单调极列集限集定义；……像你这样什么都反对的民科领袖，还好意思把被批烂批臭的宿帖、观点拿出来显摆，真是“人不要脸，所向无敌”哟！

春风晚霞

        elim你根本不知道什么是无穷？什么是趋向无穷？什么是无穷数？什么是超穷数？就根本不知道\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、ω、\(\aleph_0\)、\(\aleph\)各自的定义以及它们与∞的区别与联系！你根本不知道单调集列极限集的定义的的自洽性(即与交并运算规律的兼容性)！你根本不知道你的“臭便”之法挂一漏万的荒谬性。你根本就不知道纯粹数学的对与错！像你这样连无穷数都不认可的民科领袖，还有谁能奢望你正确解读集合论和自然数理论呢？\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)、\(\mathbb{N}_∞≠\phi\)这是数学界的共识.两年来你反对的不是春风晚霞，你反对的是威尔斯特拉斯的极限定义；你反对的是康托尔非负整数理论；你反对的皮亚诺公理体系；你反对的是单调极列集限集定义；……像你这样什么都反对的民科领袖，还好意思把被批烂批臭的宿帖、观点拿出来显摆，真是“人不要脸，所向无敌”哟！

春风晚霞

        elim你根本不知道什么是无穷？什么是趋向无穷？什么是无穷数？什么是超穷数？就根本不知道\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、ω、\(\aleph_0\)、\(\aleph\)各自的定义以及它们与∞的区别与联系！你根本不知道单调集列极限集的定义的的自洽性(即与交并运算规律的兼容性)！你根本不知道你的“臭便”之法挂一漏万的荒谬性。你根本就不知道纯粹数学的对与错！像你这样连无穷数都不认可的民科领袖，还有谁能奢望你正确解读集合论和自然数理论呢？\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)、\(\mathbb{N}_∞≠\phi\)这是数学界的共识.两年来你反对的不是春风晚霞，你反对的是威尔斯特拉斯的极限定义；你反对的是康托尔非负整数理论；你反对的皮亚诺公理体系；你反对的是单调极列集限集定义；……像你这样什么都反对的民科领袖，还好意思把被批烂批臭的宿帖、观点拿出来显摆，真是“人不要脸，所向无敌”哟！

春风晚霞

        elim你根本不知道什么是无穷？什么是趋向无穷？什么是无穷数？什么是超穷数？就根本不知道\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、ω、\(\aleph_0\)、\(\aleph\)各自的定义以及它们与∞的区别与联系！你根本不知道单调集列极限集的定义的的自洽性(即与交并运算规律的兼容性)！你根本不知道你的“臭便”之法挂一漏万的荒谬性。你根本就不知道纯粹数学的对与错！像你这样连无穷数都不认可的民科领袖，还有谁能奢望你正确解读集合论和自然数理论呢？\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)、\(\mathbb{N}_∞≠\phi\)这是数学界的共识.两年来你反对的不是春风晚霞，你反对的是威尔斯特拉斯的极限定义；你反对的是康托尔非负整数理论；你反对的皮亚诺公理体系；你反对的是单调极列集限集定义；……像你这样什么都反对的民科领袖，还好意思把被批烂批臭的宿帖、观点拿出来显摆，真是“人不要脸，所向无敌”哟！

春风晚霞

elim在自然数理论中\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n-1)\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n+1)\)是三个不不同的自然数，意即\(\infty-1\)是\(\infty\)的前趋，\(\infty+1\)是\(\infty\)的后继。所以在自然数理论中\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\)\(\infty=\infty+1\)不成立！

春风晚霞

自然数的定义、皮亚诺自然数公理、康托尔实正整数生成法则、冯\(cdot\)诺依曼自然数生成法则，以及用单利调集列极限集的定义证明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)……等理论均称为自然数理论！\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\)\(\infty=\infty+1\)是elim“狗要吃屡”的理论，不属于数理论！

elim

春风晚霞 发表于 2025-8-17 14:59
elim你根本不知道什么是无穷？什么是趋向无穷？什么是无穷数？什么是超穷数？就根本不知道\(v=\d ...

我不知道无穷, 不知道自然数等等等等,只有
吃狗屎活活吃傻的蠢可达知道，哈哈哈哈


集合\(A\)与\(B\)的直积是集合\(A\times B:=\{(a,b)\mid a\in A, \,b\in B\}\)
称 \(f\)为\(A\)到\(B\)的映射, 记作 \(f: A\to B\), 如果以下三条成立：
\((1)\quad f\subset A\times B\) 即 \(f\) 是 \(A\times B\) 的子集(\(A\)到\(B\)的关系)．
\((2)\quad \forall a\in A\,\exists b\in B\,((a,b)\in f)\) 即\(A\)的元皆参与了关系\(f\)．
\((3)\quad (a,b),(a,c)\in f\implies b=c.\;\)即\(b\)由\(a,\;f\)唯一确定，
记作\(b=f(a).\)   记\(A\)到\(B\)的映射全体(集合)为\(B^A.\)

称 \(f(E):=\{f(x)\mid x\in E\},\;(E\subset A)\) 为\(E\)在\(f\)下的像．
设 \(f\in B^A,\)   若\(x\ne y\implies  f(x)\ne f(y)\;(\forall x,y\in A)\)
则称\(f\)为单射；若 \(f(A)=B\),  则称\(f\)为满射．
既单又满的映射叫作双射或1-1对应．此时称 \(A,B\)
对等．称彼此对等的集合具有相同的基数．故基数是对等这一
等价关系下的等价类．集\(S\)的基数记作\(|S|\).

根据选择公理，任给二集合\(A,\,B\), 恒存在其中之一到另一的单射.
若有单射 \(f: C\to D\) 则称\(|C|\le |D|\);
用 \(|A|<|B|\)表示\((|A|\le|B|)\wedge(|A|\ne|B|)\), 为方便引入表达式
\((|A|>|B|)\iff(|B|<|A|),\;(|A|\ge |B|)\iff (|B|\le |A|)\)

【Cantor-Bernstein-Schroder 定理】\(\small(|A|\le |B|)\wedge (|B|\le |A|) \implies |A|=|B|\)
换句话说，若存在单射 \(f: A\to B,\;\; g: B\to A\), 则存在双射 \(h: A\to B\)|
即存在 \(A\),\(B\) 之间的1-1对应.  这个定理的证明网上可搜到。

综上,集合的基数大小关系满足三歧性：\(|A|< |B|, |A|=|B|, |A|>|B|\)
三者有且仅有其一成立。

【康托幂集定理】任意映射 \(f:S\to\mathscr{P}(S)\) 皆非满射．
【证明】命 \(A=\{x\in S\mid x\not\in f(x)\}\in.\mathscr{P}(S)\). 若\(f\)为
\(\qquad\quad\;\)满射, 则有 \(\alpha\in S\) 使 \(f(\alpha)=A\). 据\(A\)的定义，
\(\qquad\quad\;\)若 \(\alpha\in A\) 则 \(\alpha\not\in f(\alpha)=A;\)
\(\qquad\quad\;\)若 \(\alpha\not\in A=f(\alpha),\) 则 \(\alpha \in A.\)
\(\qquad\quad\;\)得到 \((\alpha\in A)\iff (\alpha \not\in A)\)  的矛盾！
\(\qquad\quad\;\)故所论\(\alpha\)不存在, \(f^{-1}(A)=\varnothing,\;f\) 非滿射．

【注记】康托的这个定理与幂集公理一起，表明集与
\(\qquad\quad\;\)其幂集恒不对等，有无穷多不同的无穷基数．

春风晚霞

  
        elim，自然数列\(\{n\}\)发散这根本不用你自作多情来“证明”一通，你的这个“证明”，除了说明你根本就不懂Weierstrass数列极限的\((\varepsilon—N)\)定义，还能说明什么呢？
        根据Weierstrass数列极限的\((\varepsilon—N)\)定义：\(\forall\varepsilon>0，\exists\)\( N(=[\tfrac{1}{\varepsilon}]+1)\)\(\in\mathbb{N}\)，当n>N时，恒有\(| a_n-a |<\varepsilon\)，\(\iff\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\)中的限制性短语\(\color{red}{\forall\varepsilon>0，\exists N(=[\tfrac{1}{\varepsilon}]+1)\in\mathbb{N}}\)知\(\mathbb{N}_{\infty}=\)\(\{n|n> N(=[\tfrac{1}{\varepsilon}]+1)\}\ne\phi\)，且\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)!
       所以要想用Weierstrass数列极限的\((\varepsilon—N)\)定义，证明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\infty\),需且只需证明对\(\forall\varepsilon>0\)\(\exists\)\( N(=[\tfrac{1}{\varepsilon}]+1)\)\(\in\mathbb{N}\),使得|\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n-\infty\)|=\(|\infty-{\infty}|<{\varepsilon}\)即可！显然不等式\(|\infty-{\infty}|<{\varepsilon}\)对\(\varepsilon=\tfrac{1}{2}\)成立，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\infty\)或\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)趋向于\(\infty\).所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)