哥德巴赫猜想：最容易理解的难题，最难证明的猜想

luyuanhong

哥德巴赫猜想：最容易理解的难题，最难证明的猜想

原创 关注全球科研的 科学方程式 2024 年 06 月 26 日 12:17 北京

1742 年 6 月，哥德巴赫（Christian Goldbach）给他的老朋友大数学家欧拉（Leonhard Euler）写了一封信，依旧是讨论他最感兴趣的数论问题。在信中，哥德巴赫阐述了一条数学推理：每个大于 2 的整数都可以写成三个质数（或称“素数”）之和。

哥德巴赫遵循了现已废弃的惯例，认为 1 是质数。如果按现代陈述，可以写作：每个大于 5 的整数都可写成三个质数之和。

二十几天后，远在柏林的欧拉回信了，并提出了另一个等价版本：每个大于 2 的偶数都可以写成两个质数之和。




哥德巴赫与他写给欧拉的信

随手捡一些偶数分拆，都能验证这一推理。

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5

10 = 3 + 7 = 5 + 5

12 = 5 + 7

14 = 3 + 11 = 7 + 7

16 = 3 + 13 = 5 + 11

…

欧拉甚至相信这是一个完全可以确定的定理，尽管他还无法证明。

这就是赫赫有名的“哥德巴赫猜想”（Goldbach's conjecture）。虽然它的叙述简洁易懂，任何人都能够找出几个例子验证，但想要证明它却是纷繁复杂。自 1742 年哥德巴赫猜想被正式提出，此后近 3 个世纪，各国数学家们一直在苦苦探寻。


关于哥德巴赫猜想的现代陈述，使用的是欧拉阐述的版本：任一大于 2 的偶数，都可以表示成两个质数之和。

哥德巴赫猜想为何难以证明？

到目前为止，关于哥德巴赫猜想的验证都是正确的，比如 10 = 3 + 7 ，100 = 53 + 47 。但是却无法证明它对任何大于 2 的偶数都成立。


三条线相交处，为偶数表示为两个质数之和。截至 2014 年，数学家已经验证了 4×10 的 18 次方以内的偶数，没有发现哥德巴赫猜想的反例。

该猜想涉及大量的组合学和数论问题。首先，对于一些特定的偶数，可能存在多个不同的质数组合，例如 18 = 5 + 13 = 7 + 11 。偶数越大，表示为两个或三个质数之和的方式就越多。其二，质数的分布问题尚未解决，无法列出一个确切的质数列表，这也为证明工作设置了一个超高难度的关卡。

所以直到二十世纪初期，在超过 160 年的时间里，哥德巴赫猜想的证明工作都没有取得任何实质性的进展。欧拉、高斯、黎曼、狄利克雷等数论和函数领域的大佬，均未跨过突破的门槛。


1921 年，英国数学家哈代（1877-1947，Godfrey Harold Hardy）曾在哥本哈根数学会议上声称：“哥德巴赫猜想的困难程度可以与任何一个已知的数学难题相比。”

找到突破：开创圆法、筛法，推进证明工作

关于哥德巴赫猜想的第一次重大突破出现在二十世纪 20 年代。英国数学家哈代（Godfrey Harold Hardy）和利特尔伍德（John Edensor Littlewood）极大地发展了解析数论，他们在 1923 年合作发表的论文中使用“圆法”（circle method ，也称哈代-利特尔伍德圆法）证明了：在假设广义黎曼猜想成立的前提下，每个充分大的奇数都能表示为三个质数之和，以及几乎每一个充分大的偶数都能表示成两个质数之和。

虽然哈代和利特尔伍德的工作使哥德巴赫猜想的证明向前推进了一大步，但“几乎每一个”与“每一个”之间仍然有巨大的鸿沟。

同时期，挪威数学家维戈·布朗（Viggo Brun）提供了另一种证明的思路。1915 年，他以埃拉托斯特尼筛法为原型创造出了“布朗筛法”（Brun sieve），于 1919 年用后者证明了：每个充分大的偶数都可以写成两个数之和，并且这两个数的质因数个数都不超过 9 个。


挪威数学家维戈·布朗（1885-1978），其改进的“布朗筛法”被广泛用于研究哥德巴赫猜想和孪生质数猜想等数论问题。

这个方法的思路是：如果能将其中的“9 个”缩减到“1 个”，就证明了哥德巴赫猜想。布朗证明的命题可以被记作“9+9”，以此类推，哥德巴赫猜想就是“1+1”。所以又有了哥德巴赫猜想就是证明“1+1”问题的经典说法。

在二十世纪的求证工作中，这两种思路都得到了极大的发展。各国数学家以接力跑的形式，用“圆法”或“筛法”不断逼近问题的答案。

圆法和筛法都为解析数论中的主要工具。圆法的本质是应用在数论中的傅立叶分析，简单来说就是对圆周上的函数进行分析。而筛法的目的则是给出质数分布的一种近似估计。

逼近答案：陈景润发表陈氏定理，证明“1+2”成立

就目前的结果来看，想要证明哥德巴赫猜想，挪威数学家维戈·布朗的“筛法”距离答案更近。沿着他的思路发展，最好的结果是中国数学家陈景润证明了“1+2”成立，即任何一个充分大的偶数都可以表示成两个质数之和，或者一个质数与一个半质数（两个质数的乘积）之和。


陈景润（1933-1996），毕业于厦门大学数学系。他在厦门大学担任图书管理员期间，给华罗庚写了一封信，提出其著作《堆垒素数论》中的“塔内问题”有几处地方还可以改进，引起了华罗庚的关注。1957 年，华罗庚将陈景润调至中科院数学研究所，担任实习研究员，主要研究哥德巴赫猜想。

该数论定理于 1966 年发表。1973 年，陈景润公布了详细的证明方法。据说他完全是依靠纸记笔算，证明方法即使反复精简，也多达一百多页。该文在发表前送交同样研究哥德巴赫猜想的著名数学家王元审查，王元让陈景润从早到晚给他讲了三天，最后才慎重签下“未发现证明有错误”。


陈景润于 1973 年发表的论文《大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》

陈景润证明“1+2”的消息传至国外，立刻轰动全球数学界。当时英国数学家海尼·哈伯斯坦姆（Heini Halberstam）和德国数学家汉斯-埃贡·黎希特（Hans-Egon Richert）合著的《筛法》已经进入付印阶段，被立刻叫停。他俩特别为陈景润增加了一章内容，章节命名为“陈氏定理”（Chen's theorem）。

在日本出版的《数学 100 个问题》，也因为哥德巴赫猜想的重要性，特别刊印了一张陈景润的照片。而另一位享有“登照殊荣”的中国人是南北朝时期的数学家祖冲之。

事实上，回看二十世纪全世界研究哥德巴赫猜想的“进度条”，基本是这样的：

1920年

挪威数学家维戈·布朗证明了“9+9”

1924 年

德国数学家汉斯·拉特马赫证明了“7+7”

1932 年

英国数学家特奥多尔·埃斯特曼证明了“6+6”

1938 年

苏联数学家布赫希塔布证明了“5+5”

1940 年

苏联数学家布赫希塔布又证明了“4+4”

接下来，就基本进入了“中国时间”：

1956 年

中国数学家王元证明了“3+4”，苏联数学家维诺格拉多夫证明了“3+3”

1957 年

王元又证明了“2+3”

1962 年

中国数学家潘承洞和苏联数学家巴尔巴恩分别证明了“1+5”

1963年

潘承洞、巴尔巴恩与王元又都证明了“1+4”

1965 年

苏联的布赫希塔布和维诺格拉多夫，及意大利的恩里科·邦别里证明了“1+3”

1966 年

中国数学家陈景润证明了“1+2”

但看似很快有突破进展的“进度条”突然就此停滞了，陈景润使用的方法已经将“筛法”发挥到了极致。

如今数学界的主流意见认为，想要证明关于偶数的哥德巴赫猜想，需要新的思路或者新的数学工具，或者在现有的方法上进行重大的改进。

距离光辉的顶点还差一步，却是前路不明。


2018 年，88 岁高龄王元院士在一次公开活动中谈及哥德巴赫猜想，“不要认为陈景润做出‘1＋2’，还差一步就做出‘1＋1’。是的，就是这一步根本就大得不得了，这一步比 90 年来走过的路还要长。”

再迎曙光：弱哥德巴赫猜想被证明

从哥德巴赫猜想出发，还可以推理出一条猜想：每个大于 5 的奇数都可以写成三个质数之和（一个质数可以被多次使用）。

它被称为弱哥德巴赫猜想（Goldbach's weak conjecture，又称奇数哥德巴赫猜想或三质数问题）。一直以来，学界都认为如果“哥德巴赫猜想”可以被证明，“弱哥德巴赫猜想”也将成立。却没想到，后者抢先从“猜想”变成了“定理”。

2013 年，弱哥德巴赫猜想被秘鲁数学家哈拉尔德·赫尔夫戈特（Harald Helfgott）完全证明。他承继的证明方法源于苏联数学家伊万·维诺格拉多夫（Ivan Vinogradov）。


秘鲁数学家哈拉尔德·赫尔夫戈特（1977-），普林斯顿大学博士，2010 年开始担任法国国家科学研究院和巴黎高等师范学院的研究员，主要研究解析数论、群论。

1937年，维诺格拉多夫在使用“圆法”的基础上，去掉了哈代和利特尔伍德证明中对于广义黎曼猜想的依赖，完全证明了“每个充分大的奇数都可以写成三个质数之和”，即哥德巴赫-维诺格拉多夫定理。

不过维诺格拉多夫无法给出“充分大”的下限，所以找到这一下限便成为了弱哥德巴赫猜想研究的主要方向。

经过苏联数学家尤里·弗拉基米罗维奇·林尼克，中国数学家陈景润、王元、廖明哲、王天泽等人的时间接力，这个下限于 2001 年被降至 n ＞ e^3100 ≈ 10^1346.3 。却还是远超过计算机的验证范围 10 的 18 次方。

赫尔夫戈特从 2006 年开始做相关研究，花了 7 年时间，综合使用了哈代-利特尔伍德-维诺格拉多夫圆法、筛法与指数和等方法，成功将维诺格拉多夫“充分大”的下限缩小至 10 的 29 次方左右。此时，可以通过计算机验证在此之下的所有奇数，结果无一例外都符合猜想，从而最终完成了弱哥德巴赫猜想的证明。

值得一提的是，在赫尔夫戈特胜利的阴影下，也掩盖着华裔数学家陶哲轩的遗憾。此前一年，他刚刚证明了：每个大于 1 的奇数都可以写成五个质数之和。虽然这个定理已有其他成果证明，但陶的方法将是最先进、最令人满意的。


陶哲轩（1975-），华裔数学家，2006 年获得了菲尔兹奖，现任加州大学洛杉矶分校（UCLA）数学教授。与哥德巴赫猜想相关的解析数论、组合学是他的主要研究方向之一。

即使慢了一步，陶哲轩依旧是当代组合学、加性数论的领军人物。2023 年，他和蒂莫西·高尔斯（W. T. Gowers）、本·格林（Ben Green）、弗雷迪·曼纳斯（Freddie Manners）联合证明了加性组合学里的圣杯——多项式 Freiman-Ruzsa 猜想。要知道，加性组合学也是起源于哥德巴赫猜想。这无疑让我们相信，陶哲轩还在一步一步攀登这座险峰。

拥抱难题，拥抱更好的未来

在数学界，尚未解决的猜想、难题非常多，为什么哥德巴赫猜想特别重要呢？甚至有说，它是世界三大数学未解难题之一。

总结来说，哥德巴赫猜想的重要性在于它是一个数学模型，看似是哥德巴赫灵光一现的猜想问题，却需要用到许多艰深的数学知识来证明。甚至它还给数学带来了许多新的方法、新的概念和新的理论，从某种意义上推动了数学的发展。

虽然我们尚不明确它的真正价值将用于何处，但我们不禁憧憬，当未来某一天哥德巴赫猜想变成了定理，我们的世界会迎来更好的改变。



科学方程式

ysr

不仅容易理解证明业根本不难：
哥德巴赫猜想并不难，有多种初等证明方法可以证明，哥德巴赫猜想是远远成立的。
1，由差定理（更容易证明）证明和定理（就是哥德巴赫猜想）成立。
2，设偶数2A的方根为M则其方根M内的素数的个数的下限是m=M/lnM，则偶数2A的哥德巴赫猜想解的个数的绝对下限就是m-1，这是对无穷大的偶数都成立的，随着偶数的增大实际解的个数远远大于m-1 ， 所以，哥德巴赫猜想远远成立。
3，据构成哥德巴赫猜想解的素数与偶数的方根的大小，把解分为两类：小根拆和大根拆，大于4的偶数，仅仅有73个偶数只有大根拆而不含有小根拆，其他的都是既有小根拆也有大根拆，而4=2+2.

所以，哥德巴赫猜想远远成立，容易证明，仅仅初等数学就可以证明，中学以上的学历都i可以完全解决。

至今不能解决的原因仅仅有两个：一是数学家喜欢本末倒置从解析数论下手解决问题，二是中国数学界到处是汉奸破环了中国数学界的学术氛围！！

ysr

哥德巴赫猜想起码可以用于快速找到我们需要的有密码学特征的大素数（当然还要结合其他知识和技术），因为一个小的素数加一个大偶数就可以得到一个大素数，需要结合高概率的公式。
有利于改进RSA加密体制，使之更安全和方便！