\(\Large\textbf{集论复习: 基数}\)

elim

选择公理等价于良序公理。根据良序公理，任给二集合 \(A,\;B\) 都可以良序化，于是
1）\(A\)保序同构于\(B\)的真子集，2）\(A\)与\(B\)保序同构, 3) \(B\) 与 \(A\) 的真子集保序同构.
至少有一种情况发生。

【定理(Cantor-Bernstein)】若 \(f: A\to B\), \(g: B\to A\) 都是单射，则有双射 \(h: A\to B\).
【证】令 \(A_0 = A,\;B_0=B,\;B_{n+1}=f(A_n),\,A_{n+1}=A-g(B-B_{n+1})\)
\(\qquad\;\)则 \(A_1\subseteq A_0,\;B_1=f(A)\subset B_0\) 且  \(A_n\subseteq A_{n-1},\;B_n\subseteq B_{n-1}\)
\(\qquad\;\implies B_{n+1}=f(A_n)\subseteq f(A_{n-1})=B_n,\)
\(\qquad\qquad\;\;A_{n+1}=A-g(B-B_{n+1})\subseteq A-g(B-B_n)=A_n\)
\(\qquad\;\)命 \(A_\omega=\bigcap_{n\in\mathbb{N}} A_n,\;B_\omega=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}B_n\).  因为\(f\)是单射，有
\(\qquad\;B_\omega=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}f(A_n)=f(A_\omega),\;\)故 \(\;f|_{A_\omega}\)  \(A_\omega\)到\(B_\omega\)的双射. 但
\(\qquad\;b\in B-B_\omega\implies\exists n\in\mathbb{N}\,(b\not\in B_{n+1})\implies g(b)\not\in A_n\implies g(b)\not\in A_\omega\)
\(\qquad\;a\in A-A_\omega\implies\exists n\in\mathbb{N}\,(a\not\in A_{n+1}=A-g(B-B_{n+1}))\)
\(\qquad\;\implies \exists b\in B-B_{n+1}\;(a =g(b))\implies g(B-B_\omega)=A-A_\omega\)
\(\therefore\;\;\;h: A\to B,\quad h(x)=\begin{cases}\;\;\;f(x),& x\in A_\omega;\\ g^{-1}(a),& x\in A-A_\omega.\end{cases}\) 是\(A,\;B\)间的1-1对应.

【定义】集合间1-1对应关系即对等关系是一个等价关系。称这个关系下的等价类为其成员\(E\)的基数.
\(\qquad\quad\)记作 \(|E|\).  约定 \(|\{0,1,\ldots,n-1\}|=n,\;|\mathbb{N}|=\aleph_0,\;|\mathbb{R}| = \aleph.\)
\(\qquad\quad\)若有单射\(f:A\to B\), 则称 \(|A|\le |B|\). 此时若\(A,B\)不对等，则称 \(|A| < |B|\).

【注记】据选择公理及 Cantor-Bernstein 定理，每个集合都有基数，基数大小关系满足三岐性。

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【定义】称集合 \(\mathscr{P}(S)=\{E\mid E\subseteq S\}\) 为集合 \(S\) 的幂集.
\(\qquad\quad\)显然 \(\varnothing,\,S\in\mathscr{P}(S),\;\;|\mathscr{P}(S)|=2^{|S|}.\)

【康托幂集定理】任意映射 \(f:S\to\mathscr{P}(S)\) 皆非满射．
【证明】命 \(A=\{x\in S\mid x\not\in f(x)\}\in.\mathscr{P}(S)\). 若 \(f\) 为满射，
\(\qquad\qquad\)则有 \(\alpha\in S\) 使 \(f(\alpha)=A\).  据 \(A\) 的定义，
\(\qquad\qquad\)若 \(\alpha\in A\) 则 \(\alpha\not\in f(\alpha)=A;\)
\(\qquad\qquad\)若 \(\alpha\not\in A=f(\alpha),\) 则 \(\alpha \in A.\)
\(\qquad\qquad\)得到 \((\alpha\in A)\iff (\alpha \not\in A)\)  的矛盾！
\(\qquad\qquad\)故所论\(\alpha\)不存在, \(f^{-1}(A)=\varnothing,\;f\) 非滿射．

【注记】康托的这个定理与幂集公理一起，表明集与其幂集恒不对等，有无穷多不同的无穷基数．

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本贴旨在介绍另一种连续统不可数的证明途径：\(|\mathbb{N}|=\aleph_0 < \aleph=2^{\aleph_0}=|\mathbb{R}|\)
令 \(\mathscr{L}(\mathbb{N}_+)=\{A\in\{B,B^c\}:\;B\subset\mathbb{N},\;0< |B|\in\mathbb{N}_+\}\) 易见 \(\mathscr{L}(\mathbb{N_+})\) 可数。
\(\quad\)\(\bigg(A\mapsto \displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}_+}2^n\chi_A(n) \) 是\(\mathbb{N}_+\)的有限子集到\(\mathbb{N}\) 的单射.\(\bigg)\)
令 \(C_0 =  \displaystyle\{{\small\sum_{k=1}^\infty\frac{\chi_A(k)}{2^k}}\mid A\in\mathscr{L}(\mathbb{N}_+)\},\;C=[0,1)-C_0\)
\(\quad\)对 \(\alpha\in C,\;\;a_k=\lfloor 2^k\alpha\rfloor -2\lfloor 2^{k-1}\alpha\rfloor,\;(k=1,2,3,\ldots)\),
\(\quad\)由 \(2^{n-1}\alpha=\lfloor 2^{n-1}\alpha\rfloor+\beta\) 得 \(\lfloor 2^k\alpha\rfloor -2\lfloor 2^{k-1}\alpha\rfloor=\lfloor 2\beta\rfloor\in\{0,1\}\)
\(\quad\)且 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{2^{n}}=\lim_{m\to\infty}\sum_{n=1}^m\big(\frac{\lfloor 2^n\alpha\rfloor}{2^n}-\frac{\lfloor 2^{n-1}\alpha\rfloor}{2^{n-1}}\big)\)
\(\qquad\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\lfloor 2^n\alpha\rfloor}{2^n} =\lim_{n\to\infty}\frac{2^n\alpha-(2^n\alpha-\lfloor 2^n\alpha\rfloor) }{2^n} = \alpha\)
\(\therefore\quad \alpha\in C\) 与 \(A=\{n\in\mathbb{N}_+:\;\lfloor 2^n\alpha\rfloor -2\lfloor 2^{n-1}\alpha\rfloor = 1\}\in\mathscr{P}(\mathbb{N}_+)-\mathbb{L}(\mathbb{N}_+)\)
\(\qquad\)的关系是1-1对应.  故\(|\mathbb{R}|=|C|=|\mathscr{P}(\mathbb{N})-\mathbb{L}(\mathbb{N}_+)|=|\mathscr{P}(\mathbb{N})|=2^{\aleph_0}>\aleph_0\)

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