角度 α,β 满足 cos(α+β)=sinα+sinβ ，求 sinα 的最小值

君天下2003

高三复习，三角函数求最值



有没有好方法

波斯猫猫

题：α,β 满足 cos(α+β)=sinα+sinβ ，求 sinα 的最小值.

思路：cos(α+β)=sinα+sinβ ，即cosαcosβ-sinαsinβ=sinα+sinβ .

令sinα=x，sinβ=y，则(1-x^2)(1-y^2)=[x(y+1)+y]^2  (∣x∣≤1,∣y∣≤1).

整理得，2(x+1)y^2+2x(x+1)y+2x^2-1=0，因∣y∣≤1，

故，[x(x+1)]^2-2(x+1)(2x^2-1)≥0，即(x+1)(x-1+√3)(x-1)(x-1-√3)≥0，

也即x≤-1，或1-√3≤x≤1，或x≥1+√3.

经检验知，满足∣x∣≤1的只有1-√3≤x＜1. 故(sinα)min=1-√3(此时2y=√3-1).

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答已收藏。

君天下2003

老师看看这个可以吗？

君天下2003

luyuanhong 发表于 2024-8-11 17:16
楼上 波斯猫猫 的解答已收藏。

老师请看看楼下的解法可以不？

luyuanhong

第 4 楼中 君天下2003 的解答已收藏。

波斯猫猫

第五行，f(α，β)=cos(β+ψ)=sinα/√(2+2sinα)=g(α)，左边是含α，β的二元函数，
而右边含α的一元函数，其中，tanψ=(1+sinα)/cosα. 第六行那样，既甩掉了β，又
甩掉了部分α后，得到一个关于sinα的不等式，估计原则上不可行.

君天下2003

波斯猫猫 发表于 2024-8-16 11:58
第五行，f(α，β)=cos(β+ψ)=sinα/√(2+2sinα)=g(α)，左边是含α，β的二元函数，
而右边含α的一元 ...

那2楼的方法是对的不。