求证:\(c=mt\)，\(m=p\)，\(t=p\)

太阳

已知：a^2*b+a*b^2-a^2*c=b^2，c=m^2*t，a=m^2，|b|=m^3，
整数a≠1，b≠0，a≠b，m>1，t>1，奇数c>0，素数p>0
求证：m=p
已知：a^2*b+a*b^2-a^2*c=b^2，c=m^2*t，a=m^2，|b|=m^3，
整数a≠1，b≠0，a≠b，m>1，t>1，奇数c>0，素数p>0
求证：t=p
找到一个反例，m=23，t=551，a=529，b=12167

yangchuanju

太阳 发表于 2024-8-17 21:54
已知：a^2*b+a*b^2-a^2*c=b^2，c=m^2*t，a=m^2，|b|=m^3，
整数a≠1，b≠0，a≠b，m>1，t>1，奇数c>0，素 ...

m是素数，t是合数的何止m=23，t=551一个，这种反例多如牛毛：
m                     t
23 is prime         551=19*29
37 is prime         1405=5*281
43 is prime         1891=31*61
73 is prime         5401=11*491
79 is prime         6319=71*89
107 is prime         11555=5*2311
109 is prime         11989=19*631
113 is prime         12881=11*1171
137 is prime         18905=5*19*199
151 is prime         22951=59*389
157 is prime         24805=5*11*11*41
167 is prime         28055=5*31*181
173 is prime         30101=31*971
179 is prime         32219=11*29*101
211 is prime         44731=41*1091
223 is prime         49951=11*19*239
227 is prime         51755=5*11*941
229 is prime         52669=31*1699
239 is prime         57359=41*1399
251 is prime         63251=19*3329
257 is prime         66305=5*89*149
271 is prime         73711=11*6701
277 is prime         77005=5*15401
283 is prime         80371=179*449
293 is prime         86141=11*41*191
311 is prime         97031=11*8821
313 is prime         98281=29*3389
317 is prime         100805=5*20161
337 is prime         113905=5*11*19*109
347 is prime         120755=5*24151
353 is prime         124961=29*31*139
367 is prime         135055=5*27011
383 is prime         147071=61*2411
389 is prime         151709=211*719
439 is prime         193159=419*461
443 is prime         196691=11*17881
467 is prime         218555=5*43711
503 is prime         253511=79*3209
509 is prime         259589=11*23599
521 is prime         271961=431*631
523 is prime         274051=79*3469
547 is prime         299755=5*59951
557 is prime         310805=5*11*5651
563 is prime         317531=311*1021
577 is prime         333505=5*66701
587 is prime         345155=5*69031
593 is prime         352241=19*18539
601 is prime         361801=11*31*1061
613 is prime         376381=89*4229
631 is prime         398791=19*139*151
643 is prime         414091=29*109*131
653 is prime         427061=61*7001
661 is prime         437581=29*79*191
701 is prime         492101=29*71*239
719 is prime         517679=29*17851
727 is prime         529255=5*151*701
733 is prime         538021=11*59*829
757 is prime         573805=5*114761
773 is prime         598301=11*109*499
797 is prime         636005=5*131*971
811 is prime         658531=211*3121
821 is prime         674861=11*19*3229
823 is prime         678151=359*1889
827 is prime         684755=5*136951
829 is prime         688069=271*2539
853 is prime         728461=149*4889
859 is prime         738739=19*59*659
877 is prime         770005=5*154001
883 is prime         780571=11*11*6451
887 is prime         787655=5*11*14321
911 is prime         830831=31*26801
919 is prime         845479=641*1319
929 is prime         863969=389*2221
937 is prime         878905=5*175781
953 is prime         909161=11*82651
971 is prime         943811=11*239*359
983 is prime         967271=19*50909
991 is prime         983071=29*109*311

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2024-8-17 10:54
反例肯定是存在的，仅用2p+1试除一次肯定是不行的，
应该用那个大数平方根内的所有素数试除一遍才能最终 ...

4万以内共有4203个素数，亦即有4203个指数不大于4万的梅森数；
其中梅森素数26个，完全分解的307个，不完全分解的3553个，没有找到一个素因子的317个；
4203个素指数之中，模4余2的1个，模4余1的2085个，模4余3的2117个；
在第一素因子不大于10的16次方的2978个梅森数中，模4余1的1450个，模4余3的1527个；
对1527个模4余3的梅森数指数对应的2p+1进行因数分解，可知内有281个素数，这281个2p+1型素数全都是对应梅森数的第一素因子（包括梅森素数2^3-1=7），
可知指数不大于4万的梅森数，若指数p对应的2p+1是素数，则2p+1都能整除梅森数，是这些梅森数的第一素因子（包括梅森素数2^3-1=7）；
没有2p+1是素数，不能整除梅森数的反例！
其余梅森数指数对应的2p+1都不是素数，它们的第一素因子减1与梅森数指数的比分别是8,10,16,18,24,26，32,34，……6.96*10^11。

对于指数是模4余1型素数的梅森数，4万以内有191个2p+1型素数，但它们都不是梅森数的素因子；
指数是模4余1型素数的梅森数，第一素因子减1除以素指数分别等于6,8,14,16,22,24,30,32，……

太阳

2*99368963+1=198737927，素数198737927，(2^99368963-1)/198737927，肯定是可以整除的
2^p-1分成素因子，py+1形式，y是偶数

太阳

一般人认为对于梅森数若指数p是4x+3型的奇数，指数p若是素数，且2p+1也是素数，则该梅森数可以被2p+1整除，若是不能整除呢？那就基本可以确定是素数了
不能整除是不存在的，没有任何意义，2^p-1分成素数乘积形式，py+1形式，py+1是素数，都是可以整除

yangchuanju

太阳 发表于 2024-8-17 23:30
一般人认为对于梅森数若指数p是4x+3型的奇数，指数p若是素数，且2p+1也是素数，则该梅森数可以被2p+1整除， ...

“若是不能整除呢？那就基本可以确定是素数了，这样的情况是很稀少的。”
按此说法，恐怕反例还是有的——很稀少的！

yangchuanju

在51号素数以后至1亿间共有949715个素数，对应的2p+1之中约有65704个素数，
其中最小的是紧挨第51号素数82589933的下一个素数82589939，其2倍加1165179879也是素数。
《第52个梅森素数》的作者“回家的鞋”或“閽熸尝”是如何选定63254后的素数99368963和198737927作为第52号梅森素数的不详！
原文网址：
https://zhidao.baidu.com/question/1764158032253759748.html
https://wenda.so.com/q/1679895888212141

yangchuanju

在5023307以内的35万个素数(第35万个素数是5023307)之中，
共有15468个即是模4余3，对应的2p+1又是素数的素数对，（4万内共281对）；
可以肯定地说，这15468个梅森数都不是素数，它至少含有一个素因子2p+1的！
（第一个梅森素数2^3-1=7除外）

在10570841以内的70万个素数(第70万个素数是10570841)之中，
共有29561个即是模4余3，对应的2p+1又是素数的素数对；
可以肯定地说，这29561个梅森数都不是素数，它至少含有一个素因子2p+1的！
（第一个梅森素数2^3-1=7除外）

在1000万以内的664579个素数之中，
共有28091个即是模4余3，对应的2p+1又是素数的素数对；
可以肯定地说，这28091个梅森数都不是素数，它至少含有一个素因子2p+1的！
（第一个梅森素数2^3-1=7除外）

太阳

2^p-1是合数，找到2^p-1最大素因子，难度极大，找不到好方法，寻找素数公式真是难上加难