正整数 a≥b≥c＞0 ，S(a,b,c)=1／a+1／b+1／c＜1 ，求 S(a,b,c) 的最大值

kids20082008

考虑所有满足 S(a,b,c) =\(\frac {1}{a}\)+\(\frac {1}{b}\)+\(\frac {1}{c}\)<1 的正整数 a≥b≥c>0，求S(a,b,c)的最大值。

可以的话, 请给出过程, 谢谢!

cgl_74

可以严谨的证明，S最大值为41/42；a=7, b=3, c=2.
我的证明方法是通过一个简单的筛选即可。

kids20082008

cgl_74 发表于 2024-8-17 18:02
可以严谨的证明，S最大值为41/42；a=7, b=3, c=2.
我的证明方法是通过一个简单的筛选即可。

谢谢回复!

cgl_74

没有其它人写，我就写写吧，反正也做了。
过程繁琐一点，但思路简单。

luyuanhong

题  正整数 a ≥ b ≥ c ＞ 0 ，S(a,b,c) = 1／a + 1／b + 1／c ＜ 1 ，求 S(a,b,c) 的最大值。

解  如果 c = 1 ，则 S(a,b,1) = 1／a + 1／b + 1 ＞ 1 ，不符合要求。

    当 c = 2  时，如果 b = 2 , 则 S(a,2,2) = 1／a + 1／2 + 1／2 ＞1 ，不符合要求。

    当 c = 2  ，b = 3  时，如果 a ≤ 6 ，则

    S(a,3,2) = 1／a + 1／3 + 1／2 ≥ 1／6 + 1／3 + 1／2 = 1 ，不符合要求。

    所以，当 c = 2  ，b = 3  时，只能取 a ≥ 7 ，而且 S 要最大，a 就要尽量小，所以要取 a = 7 ：

    S(7,3,2) = 1／7 + 1／3 + 1／2  = 41／42 。

    当 c = 2 时，如果不是 b = 3 ，而是 b = 4 ，这时不能取 a = 4 ，因为

    S(4,4,2) = 1／4 + 1／4 + 1／2  = 1 ，不符合要求。

    当 c = 2 ，b = 4 ，a ＞ 4 时，S 要最大，a 就要尽量小，所以要取 a = 5 ，但是

    S(5,4,2) = 1／5 + 1／4 + 1／2  = 19／20 ＜ 41／42 = S(7,3,2) ，并不是最大值。

    当 c = 2 ，b ≥ 5 ，a ≥ 5 时，则

    S(a,b,2) ≤ 1／5 + 1／5 + 1／2 = 9／10 ＜ 41／42 = S(7,3,2) ，并不是最大值。

    如果不是 c = 2 ，而是 c = 3 ，这时不能取 b = 3 ，a = 3 ，因为

    S(3,3,3) = 1／3 + 1／3 + 1／3  = 1 ，不符合要求。

    当 c = 3 ，b = 3 ，a ＞ 3 时，S 要最大，a 就要尽量小，所以要取 a = 4 ，但是

    S(4,3,3) = 1／4 + 1／3 + 1／3  = 11／12 ＜ 41／42 = S(7,3,2) ，并不是最大值。

    当 c = 3 ，b ≥ 4 ，a ≥ 4 时，则

    S(a,b,3) ≤ 1／4 + 1／4 + 1／3 = 5／6 ＜ 41／42 = S(7,3,2) ，并不是最大值。

    当 c ≥ 4 ，b ≥ 4 ，a ≥ 4 时，则

    S(a,b,c) ≤ 1／4 + 1／4 + 1／4 = 3／4 ＜ 41／42 = S(7,3,2) ，并不是最大值。

    综合以上分析，可知 S(a,b,c) 的最大值就是 S(7,3,2) = 1／7 + 1／3 + 1／2  = 41／42 。