[欣赏]找"好数"。

王守恩

漂亮的数字串!   OEIS——没有这些数字串——这些数字串还没有通项公式。

简单的3, 8, 33, 88, 333, 888, 3333,...,没有通项公式。
3, 8, 33, 88, 333, 888, 3333, 8888, 33333, 88888, 333333, 888888, 3333333, 8888888, 33333333, 88888888, 333333333, 888888888, 3333333333, 8888888888, 33333333333, 88888888888,
333333333333, 888888888888, 3333333333333, 8888888888888, 33333333333333, 88888888888888, 333333333333333, 888888888888888, 3333333333333333, 8888888888888888, ...

复杂一点的 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 10, 11, ...,就更难了。
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,

10, 11, 11, 22, 33, 55, 88,

100, 111, 111, 222, 333, 555, 888,

1000, 1111, 1111, 2222, 3333, 5555, 8888,

10000, 11111, 11111, 22222, 33333, 55555, 88888,

100000, 111111, 111111, 222222, 333333, 555555, 888888,

1000000, 1111111, 1111111, 2222222, 3333333, 5555555, ...

lihp2020

观察规律
  每两项 一组  后面比前面就多一位
  每两项 就是 3 8
   
  假如我们只求  每两项的前面那个
  结果就是 (10^n-1)/9*3
    每两项的后面那个   结果就是 (10^n-1)*8
        这是两个不同的公司 要合并在一起  使用的办法一般就是三角函数  或者 取整函数


三角函数 (cosNπ +1 )/2  就 10101010 的数列
所以 结果可以大概写成 （10^(f1(n))-1） *（3*f2(n) +8f3(n)）
其中
f1(n)      是11223344的数列
f2(n)      是10101010的数列
f3(n)      是01010101的数列
f1(n)=(n+(cosNπ +1  )/2)/2
f2(n)=(cosNπ +1  )/2
f3(n)=(1- cosNπ )/2
所以通项公式可以写成
（10^((n+(cosNπ +1  )/2)/2)-1）/9 *（3*(cosNπ +1  )/2) +8*(1- cosNπ )/2） 化简略


取整函数
f1(n)  = 【(n+1)/2】
f2(n)  = n-【n/2】*2
f3(n)  = 【n+1/2】*2-n
同理 带入到上面

王守恩

漂亮的数字串!   OEIS——没有这些漂亮的数字串。

数字串(5)。1, 6, 11, 66, 111, 666, 1111, 6666, 11111, 66666, 111111, 666666, 1111111, 6666666, 11111111, 66666666, 111111111, 666666666, 1111111111, 6666666666, 11111111111,

1. Table[Floor[(1 (1 - Cos[n Pi])*10^((n + 1)/2) + 6 (1 + Cos[n Pi]) 10^(n/2))/18], {n, 20}]

复制代码

数字串(6)。2, 7, 22, 77, 222, 777, 2222, 7777, 22222, 77777, 222222, 777777, 2222222, 7777777, 22222222, 77777777, 222222222, 777777777, 2222222222, 7777777777, 22222222222,

1. Table[Floor[(2 (1 - Cos[n Pi])*10^((n + 1)/2) + 7 (1 + Cos[n Pi]) 10^(n/2))/18], {n, 20}]

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数字串(7)。3, 8, 33, 88, 333, 888, 3333, 8888, 33333, 88888, 333333, 888888, 3333333, 8888888, 33333333, 88888888, 333333333, 888888888, 3333333333, 8888888888, 33333333333,

1. Table[Floor[(3 (1 - Cos[n Pi])*10^((n + 1)/2) + 8 (1 + Cos[n Pi]) 10^(n/2))/18], {n, 20}]

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数字串(8)。4, 9, 44, 99, 444, 999, 4444, 9999, 44444, 99999, 444444, 999999, 4444444, 9999999, 44444444, 99999999, 444444444, 999999999, 4444444444, 9999999999, 44444444444,

1. Table[Floor[(4 (1 - Cos[n Pi])*10^((n + 1)/2) + 9 (1 + Cos[n Pi]) 10^(n/2))/18], {n, 20}]

复制代码

5, 8, 55, 88, 555, 888, 5555, 8888, 55555, 88888, 555555, 888888, 5555555, 8888888, 55555555, 88888888, 555555555, 888888888, 5555555555, 8888888888, 55555555555, 88888888888, 555555555555, 888888888888,

1. Table[Floor[(5 (1 - Cos[n Pi])*10^((n + 1)/2) + 8 (1 + Cos[n Pi]) 10^(n/2))/18], {n, 24}]

复制代码

13, 35, 133, 355, 1333, 3555, 13333, 35555, 133333, 355555, 1333333, 3555555, 13333333, 35555555, 133333333, 355555555, 1333333333, 3555555555, 13333333333, 35555555555, 133333333333, 355555555555, 1333333333333,

1. Table[Floor[(12(1 -Cos[n Pi])*10^((n + 1)/2) +32(1 + Cos[n Pi]) 10^(n/2))/18], {n, 23}]

复制代码

王守恩

数字串(5)。1, 6, 11, 66, 111, 666, 1111, 6666, 11111, 66666, 111111, 666666, 1111111, 6666666, 11111111, 66666666, 111111111, 666666666, 1111111111, 6666666666, 11111111111,

1. Table[((5 b - 4) (10^a - 1))/9, {a, 16}, {b, 2}] // Flatten

复制代码

数字串(6)。2, 7, 22, 77, 222, 777, 2222, 7777, 22222, 77777, 222222, 777777, 2222222, 7777777, 22222222, 77777777, 222222222, 777777777, 2222222222, 7777777777, 22222222222,

1. Table[((5 b - 3) (10^a - 1))/9, {a, 16}, {b, 2}] // Flatten

复制代码

数字串(7)。3, 8, 33, 88, 333, 888, 3333, 8888, 33333, 88888, 333333, 888888, 3333333, 8888888, 33333333, 88888888, 333333333, 888888888, 3333333333, 8888888888, 33333333333,

1. Table[((5 b - 2) (10^a - 1))/9, {a, 16}, {b, 2}] // Flatten

复制代码

数字串(8)。4, 9, 44, 99, 444, 999, 4444, 9999, 44444, 99999, 444444, 999999, 4444444, 9999999, 44444444, 99999999, 444444444, 999999999, 4444444444, 9999999999, 44444444444,

1. Table[((5 b - 1) (10^a - 1))/9, {a, 16}, {b, 2}] // Flatten

复制代码

王守恩

lihp2020 发表于 2024-9-4 17:51
观察规律
  每两项 一组  后面比前面就多一位
  每两项 就是 3 8

再来一串——OEIS没有的。谢谢！
{1, 3, 14, 37, 148, 370, 1481, 3703, 14814, 37037, 148148, 370370, 1481481, 3703703, 14814814, 37037037, 148148148, 370370370, 1481481481, 3703703703, 14814814814, 37037037037, 148148148148,
370370370370, 1481481481481, 3703703703703, 14814814814814, 37037037037037, 148148148148148, 370370370370370, 1481481481481481, 3703703703703703, 14814814814814814, 37037037037037037,

王守恩

简单=漂亮！漂亮=简单！
2, 8, 28, 85, 285, 857, 2857, 8571, 28571, 85714, 285714, 857142, 2857142, 8571428, 28571428, 85714285, 285714285, 857142857, 2857142857, 8571428571, 28571428571, 85714285714, ......