\(\Large\textbf{数学归纳法原理与自然数的良序性}\)b

elim

应该承认, 参与及阅读这个版块的朋友一般并不熟悉数学基础理论但关注数学基础问题.
举例来说, jzkyllcjl, 老春头,范副,APB,hxl268 都是不懂集论, 皮亚诺理论, 标准极限论的.
叫老春头用Peano理论证明没有无穷大自然数但自然数有无穷多, 他连要他干啥都不懂.
你叫 jzkyllcjl 认账\(\mathbb{N}\)是既存的无穷集, 不然无法谈全能近似, 他直接称要暂时吃点狗屎。
这个帖子不是为不可理喻的人写的, 但愿对持开放心态愿意了解数学基础的朋友有帮助。

注记：\(\mathbb{N}\)是全序集, 任意\(a,b\in\mathbb{N},\) 有且仅有三种情况发生
\((1)\quad a=b\)
\((2)\quad \exists d\in\mathbb{N}\,(a=b+d\ne b)\)此时称 \(a > b\) 或 \(b< a.\)
\((3)\quad \exists d\in\mathbb{N}\,(a\ne a+d=b)\)此时称 \(a < b\) 或 \(b> a.\)
用 \(a\le b\) 表示\(a=b\)或\(a< b,\;\; a\ge b\)表示\(a=b\)或\(a> b\).
序关系满足传递性 \((a\le b,\;b\le c)\implies (a\le c)\)
依次称\( \{m\in\mathbb{N}: m< a\}, \;\{n\in\mathbb{N}: n\ge a\}\) 为\(a\)的前段及首\(a\)后段.
易见 \(\mathbb{N} = \{m\in\mathbb{N}: m< a\}\cup\{n\in\mathbb{N}: n\ge a\}\)

称\(m\)是\(S(\subset\mathbb{N})\) 的最小元, 如果\(m\in S\)且\((\forall n\in S\,(m\le n))\)

数学归纳法原理：
设 \(S\subset\mathbb{N}.\;\,\) 若 \((1)\;\;n_0\in S;\)
\(\qquad\qquad\qquad(2)\; (n\in S)\implies (n+1\in S);\)
\(\qquad\qquad\;\;\,\)则 \(S\)等于某首\(m\)后段(且\(m\le n_0\))。

自然数的良序性： \(\mathbb{N}\) 的非空子集必含最小元.

注记：数学归纳法原理是皮亚诺公理5的推论. 说白了
\(\quad\)就是含其任意元素的后继的自然数子集是某首\(a\)后段.

定理：数学归纳法原理与自然数的良序性是等价的.
证明："\(\Rightarrow\)"(反正法)设 \(\varnothing\ne V\subset\mathbb{N}.\;S=\{m\in\mathbb{N}: \forall n\in V\,(m< n)\}\)
\(V\) 没有最小元. 于是\(0\)不是\(V\)的最小元, 故\(0\in S\). 若 \(k\in S\) 则
\(k+1\le n(n\in V).\)但\(k+1\)不是\(V\)的最小元. 故 \(k+1\in S\).
据数学归纳法原理, \(S=\mathbb{N},\;V=\varnothing\) 与假设矛盾. 故\(V\)有最小元.
\(\qquad\)"\(\Leftarrow\)"设\(S\)满足数学归纳法原理的条件(1,2). 则由良序原理, \(S\)有最小元\(a\).
若\(S\ne\{n\in\mathbb{N}: n\ge a\}\),则有某\(m\ge a\)使\(a\le k\le m\implies k\in S\)
但\(m+1\not\in S\). 则与\(S\)具有性质\((2)\)不合. 所以\(S=\)首\(a\)后段.\(\small\quad\square\)

注记：上述定理表明数学归纳法原理是自然数系的一个固有性质.
那么为什么要研究这些原理呢？因为即使要建立自然数的加法乘法，
都必须借助归纳法使之在有限陈述原则下成为可能：
加法 \(m+0:=m,\; m+n':=(m+n)'\;(\forall m,n\in\mathbb{N})\). 其中\(k'\)表示
\(k\)的皮亚诺后继.. 类似地定义 \(m\times 0:=0,\;m\times n':=(m\times n)+m\)
加法乘法交换律，结合律，以及乘法对加法的分配律均须用归纳法证明.