求 x,y 使 4x^4-12x^3y-20x^3+18x^2y^2+159x^2-12xy^3-10xy-540x+3y^4+5y^2+850 最小

kids20082008

求下列式达至其最小值时的x, y值

\(4x^4-12x^3y-20x^3+18x^2y^2+159x^2-12xy^3-10xy-540x+3y^4+5y^2+850\)

luyuanhong

题 求实数 x,y ，使得下式取到最小值：

  4x^4 - 12x^3 y - 20x^3 + 18x^2 y^2 + 159x^2 - 12xy^3 - 10xy - 540x + 3y^4 + 5y^2 + 850 。

解 4x^4 - 12x^3 y - 20x^3 + 18x^2 y^2 + 159x^2 - 12xy^3 - 10xy - 540x + 3y^4 + 5y^2 + 850

  = 3 ( x^4 - 4x^3 y + 6x^2 y^2 - 4xy^3 + y^4 ) + 5 ( x^2 - 2xy + y^2 )

    + ( x^4 - 20x^3 + 150x^2 - 500x + 625 ) + 4 ( x^2 - 10x + 25 ) + 125

  = 3 ( x - y )^4 + 5 ( x - y )^2 + ( x - 5 )^4 + 4 ( x - 5 )^2 + 125 。

    从上式可以看出，只有当 x - y = 0 和 x - 5 = 0 时，它才能取到最小值，最小值为 125 。

    也就是说，当实数 x = 5 和 y = 5 时，本题中的式子取到最小值 125 。

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luyuanhong 发表于 2024-8-22 01:46
题 求实数 x,y ，使得下式取到最小值：

  4x^4 - 12x^3 y - 20x^3 + 18x^2 y^2 + 159x^2 - 12xy^3 - 10x ...

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