\(\Large\textbf{数学定义与递归性}\).

elim

很多运算, 映射是用递归方法定义的. 例如\(\mathbb{N}\)中的加法是由公式
\(m+0 = m,\; m+n' = (m+n)'\) 定义的. 其中\(n'\)为\(n\)的后继；
公式 \(a^0 = 1,\; a^{n'} = a^n\times a\) 定义了 \(a^n\;(a\in\mathbb{N}_+,n\in\mathbb{N})\)等等.
都是递归定义.
为什么要定义自然数和其加法？没有这种定义我就不会算术了？
从 1+1=2，1+2 = 3，....  再加上心有灵犀一点通难道还不够吗？
这都是好问题。回答很简单，这是数学基础研究的原则: 全部数
学只有集合这个元词(概念)，属于\(\in\)这个元谊(关系)不加定义．
其余术语一概需要严格的定义！
另外 II+ IV = VI  是罗马文的 2+4 = 6，为什么不拿这种语言
定义加法？自然数不是学渣们所说的符号，自然数是一个由其
运算性质及序性质决定的结构：有加法乘法幺元\(0,\,1\) 的有
序交换半环. 它被无穷公理和后继映射完全确定. 因此其加法的
刻划能且只能通过后继映射和数学归纳法给出。

现在看看'连加'：\(1+1+1+\cdots\) 怎么定义. 假定它确定了
一个自然数\(n\)，那么就有
\(n=1+1+1+\cdots = 1+(1+1+\cdots)=1+n=n+1=n'\)
这与皮亚诺公理不合. 所以任何数的无穷连加的"结果"均不能是自然数。