数学中国

用户名  找回密码
 注册
帖子
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 1639|回复: 0

帕斯卡三角形与数学常数 e 的联系

[复制链接]
发表于 2024-8-24 18:47 | 显示全部楼层 |阅读模式
帕斯卡三角形与数学常数 e 的联系

原创 围城里的猫 MathSpark 2024 年 07 月 19 日 07:30 陕西

人类既无法看到自己从中诞生的虚无,也无法看到自己陷入的无限。—— 布莱斯·帕斯卡(1623–1662)



早在 1500 年前,人们就开始对帕斯卡三角形进行研究,所谓的帕斯卡三角形,就是二项式系数表,我记得在我高中的时候,也经常考这个,不仅如此它与概率论、组合学、欧几里得几何、分形几何以及斐波那契数列等众多数学领域都有联系,而在这期推送中,我们还将发现它与常数 e 也有联系。



具体来说,e 可以通过对帕斯卡三角形的行乘积进行运算得出。简而言之,如果我们用 r(n) 表示第 n 行的乘积,那么:



则常数 e 可由下式得出:



寻找规律

为了说明如何发现上面的关系的,我们需要做一些数值上的计算,下面我们用 s(n) 表示帕斯卡三角形第 n 行数字的乘积,注意到这与我们上面用到的符号有所不同,上面我们是用 r(n) 的,因为帕斯卡三角形每一行的数字都是二项式的系数,所以 s(n) 可用下式表达:(注意通常帕斯卡三角形我们是从第 0 行开始,而不是第一行,这主要是为了与二项式展开相对应)





计算一下从第 0 行到第 7 行,我们发现,对于 0≤n≤7 ,s(n) 的值为:s(n)={1,1,2,9,96,2500,162000,26471025,…} 。我们同时计算一下后一项 s(n) 除以前一项 s(n-1) 的值:





看不出有什么规律,如果我们再计算下面连续表达式的比值:



就会发现这些值似乎朝着某种收敛的规律进行。如下所示



可以利用计算机,再取一些数据来证实猜测:



上面的数据表明,随着帕斯卡三角形的增长,这个值跟 e 的值越来越接近。

我们如何证明这一点?

这并不是一件困难的事,我们首先对 s(n) 做一下改写:



现在我们要找到两个比值:



和:



简单的代数运算:



两边取极限,右边实际是 e 的定义:



结论



欧拉在 1748 年的《无限分析导论》中使用了 e 的极限定义以及 (a + b)^n 的二项式展开式来推导 e 的经典的级数,



这个级数后来也构成了计算 e 的最快方法的基础。而这里我们通过解释帕斯卡三角形也提供了常数 e 的另一种极限诠释。



围城里的猫

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

LaTEX预览输入 教程 符号库 加行内标签 加行间标签 
对应的 LaTEX 效果:

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2025-7-7 07:45 , Processed in 0.085255 second(s), 17 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表
\frac{\square}{\square}\sqrt{\square}\square_{\baguet}^{\baguet}\overarc{\square}\ \dot{\baguet}\left(\square\right)\binom{\square}{\square}\begin{cases}\square\\\square\end{cases}\ \begin{bmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{bmatrix}\to\Rightarrow\mapsto\alpha\ \theta\ \pi\times\div\pm\because\angle\ \infty
\frac{\square}{\square}\sqrt{\square}\sqrt[\baguet]{\square}\square_{\baguet}\square^{\baguet}\square_{\baguet}^{\baguet}\sum_{\baguet}^{\baguet}\prod_{\baguet}^{\baguet}\coprod_{\baguet}^{\baguet}\int_{\baguet}^{\baguet}\lim_{\baguet}\lim_{\baguet}^{\baguet}\bigcup_{\baguet}^{\baguet}\bigcap_{\baguet}^{\baguet}\bigwedge_{\baguet}^{\baguet}\bigvee_{\baguet}^{\baguet}
\underline{\square}\overline{\square}\overrightarrow{\square}\overleftarrow{\square}\overleftrightarrow{\square}\underrightarrow{\square}\underleftarrow{\square}\underleftrightarrow{\square}\dot{\baguet}\hat{\baguet}\vec{\baguet}\tilde{\baguet}
\left(\square\right)\left[\square\right]\left\{\square\right\}\left|\square\right|\left\langle\square\right\rangle\left\lVert\square\right\rVert\left\lfloor\square\right\rfloor\left\lceil\square\right\rceil\binom{\square}{\square}\boxed{\square}
\begin{cases}\square\\\square\end{cases}\begin{matrix}\square&\square\\\square&\square\end{matrix}\begin{pmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{pmatrix}\begin{bmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{Bmatrix}\begin{vmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{vmatrix}\begin{Vmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{Vmatrix}\begin{array}{l|l}\square&\square\\\hline\square&\square\end{array}
\to\gets\leftrightarrow\nearrow\searrow\downarrow\uparrow\updownarrow\swarrow\nwarrow\Leftarrow\Rightarrow\Leftrightarrow\rightharpoonup\rightharpoondown\impliedby\implies\Longleftrightarrow\leftharpoonup\leftharpoondown\longleftarrow\longrightarrow\longleftrightarrow\Uparrow\Downarrow\Updownarrow\hookleftarrow\hookrightarrow\mapsto
\alpha\beta\gamma\Gamma\delta\Delta\epsilon\varepsilon\zeta\eta\theta\Theta\iota\kappa\varkappa\lambda\Lambda\mu\nu\xi\Xi\pi\Pi\varpi\rho\varrho\sigma\Sigma\tau\upsilon\Upsilon\phi\Phi\varphi\chi\psi\Psi\omega\Omega\digamma\vartheta\varsigma\mathbb{C}\mathbb{H}\mathbb{N}\mathbb{P}\mathbb{Q}\mathbb{R}\mathbb{Z}\Re\Im\aleph\partial\nabla
\times\cdot\ast\div\pm\mp\circ\backslash\oplus\ominus\otimes\odot\bullet\varnothing\neq\equiv\not\equiv\sim\approx\simeq\cong\geq\leq\ll\gg\succ\prec\in\ni\cup\cap\subset\supset\not\subset\not\supset\notin\not\ni\subseteq\supseteq\nsubseteq\nsupseteq\sqsubset\sqsupset\sqsubseteq\sqsupseteq\sqcap\sqcup\wedge\vee\neg\forall\exists\nexists\uplus\bigsqcup\bigodot\bigotimes\bigoplus\biguplus\bigcap\bigcup\bigvee\bigwedge
\because\therefore\angle\parallel\perp\top\nparallel\measuredangle\sphericalangle\diamond\diamondsuit\doteq\propto\infty\bowtie\square\smile\frown\bigtriangledown\triangle\triangleleft\triangleright\bigcirc \wr\amalg\models\preceq\mid\nmid\vdash\dashv\nless\ngtr\ldots\cdots\vdots\ddots\surd\ell\flat\sharp\natural\wp\clubsuit\heartsuit\spadesuit\oint\lfloor\rfloor\lceil\rceil\lbrace\rbrace\lbrack\rbrack\vert\hbar\aleph\dagger\ddagger

MathQuill输入:

Latex代码输入: