\(\Large\textbf{区间(0,1)有多少个有理数？多少个无理数？}\)

APB先生

区间(0,1)有多少个有理数？多少个无理数？

APB先生

      因为\[\left\{ \frac{1}{10}{,}\frac{2}{10}{,}\cdots{,}\frac{9}{10}\right\}\subset\left\{ \frac{1}{10^2}{,}\frac{2}{10^2}{,}\cdots{,}\frac{99}{10^2}\right\}\subset\cdots\subset\left\{ \frac{1}{10^n}{,}\frac{2}{10^n}{,}\cdots{,}\frac{10^n-1}{10^n}\right\}\subset\cdots\]当 \(n\to\infty\) 时，\(\)\(\lim\left( 10^n-1\right)=1\dot{0}-1=\dot{9}\)
      所以区间 (0,1) 共有可数的 \(\dot{9}\) 个小数，\(\left| \left( 0{,}1\right)\right|=\dot{9}\)
      所谓区间 (0,1) 的连续统基数 \(c=\dot{9}\) 。