泊松过程 & 马尔科夫过程

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泊松过程 & 马尔科夫过程

原创 OxAA55h 套码的汉子 2024 年 07 月 06 日 08:50 辽宁

马尔科夫过程的基本性质

马尔科夫过程是指一个随机过程，其未来状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。这可以用一个简单的例子来说明：假设你正在玩一个棋盘游戏，你每一步的移动决定你下一步的位置，而与你之前几步的移动无关。

泊松过程的定义

泊松过程是一种特殊的马尔科夫过程，它具有以下特性：

独立增量：在不重叠的时间区间内发生的事件数是相互独立的。例如，在 [0, 1] 和 [2, 3] 两个时间段内发生的事件是独立的。

增量服从泊松分布：在时间间隔 [t, t + Δt) 内发生的事件数服从参数为 λΔt 的泊松分布，其中 λ 是一个常数，表示事件发生的平均速率。

初始条件：通常假设在时间 t = 0 时，没有事件发生，即 N(0) = 0。

从马尔科夫过程的角度理解泊松过程

泊松过程 N(t) 可以看作是一个纯跳跃过程，其中每次跳跃之间的时间服从指数分布。

状态空间：泊松过程的状态空间是非负整数 {0, 1, 2, …}，表示在时间 t 时刻已经发生的事件总数。

转移概率：泊松过程的转移概率可以描述为：

● 在非常短的时间间隔 Δt 内，发生一个事件的概率大约是 λΔt。

● 在非常短的时间间隔 Δt 内，不发生事件的概率大约是 1-λΔt。

无后效性：泊松过程的无后效性（即马尔科夫性质）体现在，给定当前时刻的事件总数 N(t) ，未来的事件发生情况只依赖于当前状态，而与过去的事件发生情况无关。

例子

假设你在一个电话中心记录电话呼入的情况：

独立增量：如果你分别统计上午和下午的电话呼入数，这两个时间段的电话呼入数是独立的。

增量服从泊松分布：如果在 1 分钟内平均接到 λ 个电话，那么在很短的时间间隔内接到 k 个电话的概率可以由泊松分布来描述。

初始条件：如果你从今天开始统计，那么在 t = 0 时的电话呼入数是 0 。

Summary

综上所述，泊松过程是一种特殊的马尔科夫过程，它通过独立增量和泊松分布描述了随机事件在时间上的发生情况。这个过程不仅满足马尔科夫性质，还具有独特的统计特性，使其在很多实际应用中非常有用。

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