已知锐角 α,β 满足 2／tanα-1／tanβ=√3 ，求 sinα／sinβ 的最小值

有好好生活吗

\(已知锐角\alpha，\beta满足\dfrac{2}{\tan\alpha}-\dfrac{1}{\tan\beta}=\sqrt{3}，则\dfrac{ \sin\alpha}{ \sin\beta }的最小值为\)

波斯猫猫

题：已知锐角 α,β 满足 2／tanα-1／tanβ=√3 ，求 sinα／sinβ 的最小值.

思路：令sinα／sinβ=t，由锐角 α,β 满足 2／tanα-1／tanβ=√3 ，有

2cosα-tcosβ=√3sinα，即tcosβ=2cosα-√3sinα，或

t^2[1-(sinβ )^2]=(cosα)^2-2√3sin2α+3，或

t^2[1-(sin α/t)^2]=(cosα)^2-2√3sin2α+3，或t^2=4-2√3sin2α，

故，t≥√3-1  (当且仅当tanα=1，tanβ=2+√3时等号成立).

luyuanhong

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波斯猫猫

思路：令sinα／sinβ=t，由锐角 α,β 满足 2／tanα-1／tanβ=√3 ，有

2cosα-tcosβ=√3sinα，即tcosβ=2cosα-√3sinα，或

t^2[1-(sinβ )^2]=(cosα)^2-2√3sin2α+3，或

t^2[1-(sin α/t)^2]=(cosα)^2-2√3sin2α+3，或t^2=4-2√3sin2α，

故，t≥√3-1  (当且仅当tanα=1，tanβ=2+√3时等号成立).

注：若是消去α，那就麻烦了.