黎曼猜想的新突破

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黎曼猜想的新突破

撰文：佐佑 来源：原理 2024 年 08 月 02 日 20:32 浙江

素数是指那些除了 1 和自身以外，无法被其他正整数整除的数，比如 2、3、5、7、11、13、…… 它们的神秘之处在于，我们无法完全理解并预测它们在数轴上的分布。1859 年，德国数学家波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）首次提出数学中最令人费解的问题之一——黎曼猜想，其终极目标是想要解开素数之谜。

虽然许多领域都假定黎曼猜想是成立的，但对于数学家而言，真正的证明还没有实现。这个有着“数学圣杯”之称的未解谜题，困扰了一代又一代最杰出的数学家。2000 年，在克雷数学研究所公布的 7 个千禧年大奖难题中，也包括黎曼猜想。

今年 5 月，黎曼猜想迎来了新的突破。麻省理工学院的 Larry Guth 和牛津大学的菲尔兹奖得主 James Maynard ，在论文预印网站 arXiv 上提交了一篇新的论文，表示他们改进了一项已经停滞了 80 多年的与黎曼猜想有关的结果。

黎曼猜想的核心：黎曼 ζ 函数

在了解这项成果之前，我们首先需要了解的是：什么是黎曼猜想？

黎曼猜想的核心是黎曼 ζ 函数。在数论领域，ζ(s) 函数是一个普遍存在的数学函数，它以一种无穷的调和级数的形式存在。s 代表函数中的指数变量，ζ(2) 指的就是级数的平方和，ζ(4) 是级数的四次方和，以此类推。


黎曼 ζ 函数。ζ ，读作 zeta 。

生于 18 世纪初的瑞士数学家欧拉（LeonardEuler）证明了，当 s＞1 时，ζ 函数是收敛的，它会收敛到某个有限数值。此外，他还发现 ζ 函数可被表示为无穷个无穷级数的乘积，其中每个无穷级数都与一个素数有关，比如第一个级数与 2 有关，第二个级数与 3 有关，第三个与 5 有关……


ζ(s) 函数可以表现成无穷个无穷级数的乘积，每个无穷级数由一个素数的倒数的所有次幂的 s 次方的和构成。

如此一来，ζ 函数和素数之间的关系就出现了！不过，欧拉虽然发现了这二者之间的关联，但直到黎曼才揭示出其中的含义。黎曼想知道，如果代入 ζ 函数中的 s 是复数，情况会如何？


复数可以表示为 x+iy ，其中 x 为实部，y 为虚部。

他将 ζ 函数扩展到复平面后发现，只有在 s 的实部大于 1 时，ζ 函数才是收敛的。要如何才能将 ζ 函数扩展到复平面的其余部分呢？为了实现这一点，黎曼使用了复分析中的一种被称为解析延拓的技术。

解析延拓的关键在于，实际上要有两个函数在同时运作，一个是原始的 ζ 函数，它的运作范围仅限于 s 的实部大于 1 的范围；另一个是个全新的、定义域被扩展了的函数，即黎曼 ζ 函数：当 ζ 函数收敛时，黎曼 ζ 函数的值等同于原始的 ζ 函数；当 s 的实部小于 1 时，黎曼 ζ 函数的值就等于由 s 处的级数定义的函数的解析延拓。

通过扩展函数的域，黎曼发现在新的域里，函数可以穿过原点。这意味对于一些复数，函数值等于 0 ，这些值被称为 ζ 零点。找出这些零在复平面上的位置是数学中最有趣的问题之一。

有些 ζ 零点很容易解释，比如对于所有的负偶数（-2，-4，-6……），ζ 函数都等于零。这些零点被称为平凡零点，它们并非黎曼所感兴趣的。他在意的是那些被称为非平凡零点的零点。


黎曼认为所有非平凡零点都位于临界线处。

黎曼证明了，在一个实部 s 在 0 到 1 之间的临界带区域内，ζ 函数存在无穷多个非平凡零点。1859 年，他发表了一篇开创性的论文，在论文中正式提出：在临界带内，ζ 函数的所有非平凡零点都位于一条临界线上，也就是在复平面上 s 的实部等于 1/2 的地方。

这便是数学家们至今仍无法证明的黎曼猜想。

上世纪 40 年代确立的界

直至今日，已经有多达 10^13 多个 ζ 函数的非平凡零点被检验过，而且它们的实部的确都位于等于 1/2 的直线上。但这并不能作为证明黎曼猜想的有效证据。数学家只需找到一个反例，就能驳斥黎曼猜想。因此，数学家们一直在试图证明，在实部等于 1/2 的这条直线之外，没有其他零点。

然而，这是非常难以证明的。于是，他们转而证明，在这条直线之外，ζ 函数的非平凡零点非常罕见——罕见到最多只有 N 个。当他们将 N 减少到 0 时，就证明了黎曼猜想。只可惜，这只不过是另一条崎岖异常的道路。

在 20 世纪 40 年代，数学家 Albert Ingham 建立了实部不等于 1/2 的非平凡零点个数的上界：他表示在实部为 [0.75, 1] ，虚部不超过 y 的区间内，最多有 y^(3/5+c) 个零点，其中 c 是 0 到 9 之间的常数。在接下来的 80 多年来，这一结果几乎没有得到改善。数学家们至今仍将这一上界作为参照。

大约十年前，Maynard 开始思考如何改进 Ingham 对这些特殊零的估计，但都收效甚微。直到 2020 年初，他意识到或许数学领域的另一个工具可以帮上忙，那就是调和分析。

Maynard 遇到了调和分析领域的专家 Guth 。在断断续续的几年时间里，Guth 做了许多尝试后，才发现调和分析在这个问题上似乎也爱莫能助。但他并没有停止思考这个问题，他尝试了一些新的方法，并将他的方法与 Maynard 的方法相结合。最终，他们迎来了突破。

问题的转化

首先，他们将问题转换成另一个问题：如果一个零点的实部不是 1/2 ，那么在一个名为狄利克雷多项式的函数会输出一个非常大的值。因此，证明黎曼猜想很少有反例，就等同于证明狄利克雷多项式不能太频繁地产生大值。

接着，他们进行了另一项“转换”工作。他们先是使用狄利克雷多项式来建立一个矩阵。矩阵可以通过“作用于”一个向量（具有长度和方向）而产生另一个向量。这种过程通常会改变原始向量的长度和方向。

但是，有一些向量是特殊的，当这些特殊向量经过一个矩阵的“作用”时，它们只改变长度而不改变方向。这些被称为本征向量，它们的长度变化可以用所谓的本征值来衡量。

如此一来，Guth 和 Maynard 就将问题改写为求矩阵的最大本征值。如果能够证明最大的本征值不会太大，他们就完成了证明。为了做到这一点，他们使用了一个公式，这个公式给了他们一个复杂的求和，他们所做的就是设法使这个求和中的正负值能尽可能相互抵消。

最终，他们打破了 80 多年前由 Ingham 创下的纪录，得到了一个足够好的最大本征值的界，这反过来又转化为一个更好的估计黎曼猜想的潜在反例数量的界。他们的结果表明，在实部为 [0.75, 1] ，虚部不超过 y 的范围内，ζ 函数最多有 y^(13/25+c) 个非平凡零点。这意味着，Guth 和 Maynard 从定量的角度证明了，零离临界线越远，黎曼 ζ 函数的零点就越是罕见。

新的思路

虽然 Maynard 和 Guth 的工作没有直接解决黎曼猜想，但他们至少为解决这个有着 160 年历史的谜题提供了新的思路。一些数学家表示这是一种全新的思想，并推测在这项工作中所使用的技术也能被用于其他问题的研究，进而改进对素数的其他方面的理解。

Guth 和 Maynard 表示，他们所采用的技术还有进一步提升的空间。但在一项采访中，Maynard 表示这些技术都不是解决黎曼猜想的真正出路，他认为解决这个问题还需要更大的创新。

创作团队：

撰文：佐佑

排版：雯雯

参考来源：

https://arxiv.org/abs/2405.20552
http://www.claymath.org/library/ ... 04report_sarnak.pdf
http://www.claymath.org/library/ ... 4report_riemann.pdf
https://www.quantamagazine.org/s ... me-numbers-0240715/
https://www.scientificamerican.c ... cs-is-a-step-loser/
https://empslocal.ex.ac.uk/peopl ... zeta/riemannhyp.htm

图片来源：summerglow

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