若正整数 a≥b≥c>0 ，求 S=1／a+1／b+1／c<1 的最大值

popo987654

请教各位解题思路

lihp2020

由于abc是正整数  明显
abc 不可能取 1
直接带入
c>=2?
如果C=2
1/2+1/3+1/7
1/2+1/4 +1/5
1/2+1/5+1/6
如果C=3
1/3+1/3+1/4
1/3+1/4+1/4
如果C=4
1/4+1/4+1/4

明显 C再大 S更小
直接判断 前面几个那个最大就好

tips一般要求正整数  且明显 这些值不可能太大  直接带入验证

luyuanhong

下面是网友 cgl_74 过去在《数学中国》论坛上发表过的一个帖子：

可以严谨的证明，S 最大值为 41/42；a=7, b=3, c=2.

我的证明方法是通过一个简单的筛选即可。

luyuanhong

题  正整数 a ≥ b ≥ c ＞ 0 ，S(a,b,c) = 1／a + 1／b + 1／c ＜ 1 ，求 S(a,b,c) 的最大值。

解  如果 c = 1 ，则 S(a,b,1) = 1／a + 1／b + 1 ＞ 1 ，不符合要求。

    当 c = 2  时，如果 b = 2 , 则 S(a,2,2) = 1／a + 1／2 + 1／2 ＞1 ，不符合要求。

    当 c = 2  ，b = 3  时，如果 a ≤ 6 ，则

    S(a,3,2) = 1／a + 1／3 + 1／2 ≥ 1／6 + 1／3 + 1／2 = 1 ，不符合要求。

    所以，当 c = 2  ，b = 3  时，只能取 a ≥ 7 ，而且 S 要最大，a 就要尽量小，所以要取 a = 7 ：

    S(7,3,2) = 1／7 + 1／3 + 1／2  = 41／42 。

    当 c = 2 时，如果不是 b = 3 ，而是 b = 4 ，这时不能取 a = 4 ，因为

    S(4,4,2) = 1／4 + 1／4 + 1／2  = 1 ，不符合要求。

    当 c = 2 ，b = 4 ，a ＞ 4 时，S 要最大，a 就要尽量小，所以要取 a = 5 ，但是

    S(5,4,2) = 1／5 + 1／4 + 1／2  = 19／20 ＜ 41／42 = S(7,3,2) ，并不是最大值。

    当 c = 2 ，b ≥ 5 ，a ≥ 5 时，则

    S(a,b,2) ≤ 1／5 + 1／5 + 1／2 = 9／10 ＜ 41／42 = S(7,3,2) ，并不是最大值。

    如果不是 c = 2 ，而是 c = 3 ，这时不能取 b = 3 ，a = 3 ，因为

    S(3,3,3) = 1／3 + 1／3 + 1／3  = 1 ，不符合要求。

    当 c = 3 ，b = 3 ，a ＞ 3 时，S 要最大，a 就要尽量小，所以要取 a = 4 ，但是

    S(4,3,3) = 1／4 + 1／3 + 1／3  = 11／12 ＜ 41／42 = S(7,3,2) ，并不是最大值。

    当 c = 3 ，b ≥ 4 ，a ≥ 4 时，则

    S(a,b,3) ≤ 1／4 + 1／4 + 1／3 = 5／6 ＜ 41／42 = S(7,3,2) ，并不是最大值。

    当 c ≥ 4 ，b ≥ 4 ，a ≥ 4 时，则

    S(a,b,c) ≤ 1／4 + 1／4 + 1／4 = 3／4 ＜ 41／42 = S(7,3,2) ，并不是最大值。

    综合以上分析，可知 S(a,b,c) 的最大值就是 S(7,3,2) = 1／7 + 1／3 + 1／2  = 41／42 。

王守恩

题  正整数 a ≥ b ≥ c ＞ 0 ，S(a,b,c) = 1／a + 1／b + 1／c ＜ 1 ，求 S(a,b,c) 的最大值。

1,  1=1/3+1/3+1/3,  a,b,c 中总有1个数<3,  =>c=2。

2,  1=1/2+1/4+1/4,   a, b 中总有1个数<4,  =>b=3。


又：1 = 1/3+1/3+1/3 = 1/4+1/4+1/2 = 1/6+1/3+1/2  三种可能。


可参考——OEIS——A007018       

王守恩

A007018

n(1,2,3,4,...)个单位分数 (可以相同, 可以不同) 的和S (n),   满足2条 :    1, S (n)< 1;     2, S (n) 尽量大。

S (1) = 1/2 = 1/2.

S (2) = 1/3 + 1/2 = 5/6.

S (3) = 1/7 + 1/3 + 1/2 = 41/42.

S (4) = 1/43 + 1/7 + 1/3 + 1/21/2 = 1805/1806.

S (5) = 1/1807 + 1/43 + 1/7 + 1/3 + 1/2 = 3263441/3263442.

S (6) = 1/3263443 + 1/1807 + 1/43 + 1/7 + 1/3 + 1/2 = 10659956950605/10650056950806.

S (7) = 1/10650056950807 + 1/3263443 + 1/1807 + 1/43 + 1/7 + 1/3 + 1/2 = 113423713055421844361000441/113423713055421844361000442.

,,,,,,

{1, 2, 6, 42, 1806, 3263442, 10650056950806, 113423713055421844361000442, 12864938683278671740537145998360961546653259485195806,
165506647324519964198468195444439180017513152706377497841851388766535868639572406808911988131737645185442,
273924503086030314234102342916746862811943643675809146279473679416086920262269936343321184045824386349295487372839923697584879743063177305807538834294603449564100770347613304760167394546...}

1. NestList[#^2 + # &, 1, 10]

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