已知 a＞1 ，n 是大于 1 的正整数。证明：a^(1／n)-1＜(a-1)／n

天山草

已知 a>1，n 是大于 1 的正整数。证明 \(\sqrt[n]{a}-1<\frac{a-1}{n}\)。

天山草

此题是北京大学元培学院大一新生的一道高数练习题。我们让智能机器人“豆包”来做这题。由于豆包没有视觉，只能对其输入文字指令：
设变量 a>1，n 是大于 1 的正整数。令 a=1+x，其中 x>0，证明 (1+x) 的 n 次方根减 1 再减去 x/n，结果是小于零的。用函数求导的方法证明。
以下是豆包的解答：

天山草

让“豆包”用二项式展开的方法证明。对其输入文字指令：
设变量 a>1，n 是大于 1 的正整数。令 a=1+x，其中 x>0，证明 (1+x) 的 n 次方根减 1 再减去 x/n，结果是小于零的。用二项式展开的方法证明。
以下是豆包的解答：

天山草

《数学中国》运行怎么这样慢啊？同样的问题在【悠闲数学娱乐论坛】上运行速度就高多了。速度相差10 倍者不止。

王守恩

\(已知\ a>1，n\ 是大于\ 1\ 的正整数。证明:\ \sqrt[n]{a}-1<\frac{a-1}{n}\)。

\(我们有\ x>0,\ (1+x)^n=1+nx+...+x^n>1+nx\ \ 即:\ 1+x>\sqrt[n]{1+nx}\ =>\ x>\sqrt[n]{1+nx}-1\)

\(已知\ a>1,\ 取\ x=\frac{a-1}{n}>0,\ 即:\ 1+x=1+\frac{a-1}{n}>\sqrt[n]{1+n\frac{a-1}{n}}=\sqrt[n]{a}\ =>\ \frac{a-1}{n}>\sqrt[n]{a}-1\)

波斯猫猫

题：a>1，n 是大于 1 的正整数，证明a^(1/n)-1＜(a-1)/n.

思路：用分析法，令a^(1/n)=x，则a=x^n，且x＞1.

因此，欲证a^(1/n)-1＜(a-1)/n，只需证x-1＜(x^n-1)/n，

或n(x-1)＜x^n-1，或n(x-1)＜(x-1)[x^(n-1)+x^(n-2)+...+x^2+x+1]，

或n＜x^(n-1)+x^(n-2)+...+x^2+x+1，而此式当x＞1时显然成立，

且步步可逆. 到此，命题得证.

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答很好！已收藏。