谈胜利：回忆我的导师肖刚教授

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谈胜利：回忆我的导师肖刚教授

今年，是中国的传奇数学家、代数几何界的先锋人物肖刚教授（1951.9-2014.6）去世的十周年。肖刚是少数公认的天才型数学家，他的导师雷诺（Raynaud）曾在对他的唁电中称赞肖刚于1980年代在巴黎南大所做的代数曲面工作达到众所公认的国际水平，至他辞世无人能超越。除此之外，肖刚还培养出了许多位高水平的数学家。本文是肖刚的弟子之一谈胜利教授的回忆文章。

撰文 | 谈胜利 （华东师范大学数学科学学院终身教授）


肖刚

在送家人去虹桥火车站的路上接到噩耗，我的导师，著名数学家肖刚教授在法国尼斯与世长辞。半年前已经得知他得了肺癌，手术很成功，手术后不久就去正常上班。现突闻其去世，实在难以接受这个现实。回家后，把他二十多年前写给我的信拿出来看了一遍又一遍。二十多年来，他对我的指导一幕幕地浮现在眼前。

一  有幸成为肖刚的学生

1986 年春天，通过与王建磐老师联系，我报考了华东师范大学数学系代数方向的研究生，通过了入学考试的初试，到上海复试。我随身携带了武汉钢铁学院任德麟教授和武汉建材学院舒湘琴教授为我写的推荐信。肖刚教授参加了我们的专业课面试，他穿着一件灰色的风衣，看上去非常年轻，感觉比我们大不了几岁，这是我第一次见到他。

面试前，主考老师让我们阅读一篇介绍代数中的根系的英文论文。还没有完全读懂文章就轮到我介绍了，心里有些紧张，感觉问题回答得也不是很好。很快肖刚和陈志杰老师就让我介绍了大学时发表的一篇代数论文的结果，顿时轻松下来，信心倍增。然后他们问我看过哪些代数课外书，并建议我在回去之后把“交换代数引论”继续学完。

1986 年 6 月 23 日，肖刚老师给我写了一封信，这也是肖刚老师给我写的第一封信。信中他建议我攻读代数几何，他和陈志杰老师将作为我的指导教师，并说如果“交换代数引论”一书已经读完了，就继续读 Hartshorne 的“代数几何”，希望我尽量多做两本书中的习题，如有做不出或认为有趣的，可以去信告诉他。我非常高兴地答应了，并汇报了我学习交换代数的情况。没过多久，他就回信指导我如何学习代数几何，并从“交换代数引论”的每一章中挑选出了几道题，让我做好后寄给他。7 月 29 日，陈志杰老师把肖刚老师批改过的作业寄回给我，并回答了我学习过程中提出的几个问题。



面试后不久，光明日报等报纸大篇幅报道了华东师范大学的肖刚和郑伟安被破格晋升为全国最年轻的正教授和博士生导师的消息。孝感师专的同事和湖北大学的老师得知我将跟随肖刚教授学习代数几何后，都为我感到高兴。在报考华东师大研究生之前，我已经报名参加王宽诚留学基金会组织的自费留学全国选拔考试，报考的研究方向也是代数几何，交换代数是考试内容之一。由于感觉到即使到了国外，也未必能够找到像肖刚这样有名的导师学习代数几何，我最后还是放弃了自费出国留学的考试。

入学后，肖刚老师就让我从 Hartshorne 的“代数几何”第二章开始自学。不久他即去美国普林斯顿高等研究院和位于伯克利的美国数学科学研究所访问，陈志杰老师负责代数几何方向6名学生的课程学习。可能是由于我的几何背景薄弱，自学的速度非常慢，一个月下来才学完第二章的前两节，这同我以前自学代数课程时的感觉完全不同。

二  对我的硕士论文的指导

肖刚老师在普林斯顿访问期间，给了我一个硕士论文题目，研究代数几何中的三次覆盖。简单地说，就是在一个给定的代数曲线、代数曲面或者高维代数体（代数几何中称为“代数簇”）的基础上，通过一个三次方程，构造一个新的曲线、曲面或代数簇。在代数曲面的情形，肖刚老师对二次覆盖有很深入的研究，他利用二次覆盖研究过很多问题。Miranda（杨劲根教授在麻省理工学院的同学）于 1985 年发表了一篇题为“代数几何中的三次覆盖”的文章，系统地研究了如何从代数结构上描述一个三次覆盖的问题。听说在给我论文题目之前，肖刚老师在普林斯顿时和 Miranda 有过交流，认为这是一个值得进一步深入研究的问题，他让我仔细研读 Miranda 的论文。

1988 年夏天，肖刚老师从美国回到上海，第二天，他就与陈志杰老师一起到研究生宿舍看望我们，了解我们的学习、生活和论文进展情况。我告诉他我做了很多计算，发现一般的三次覆盖很困难，但循环三次覆盖和二次覆盖有类似性质，奇点也可以通过所谓的典范解消把它消去，覆盖曲面的不变量也有类似的计算公式。他回答说他当然知道一般情形很困难，循环三次覆盖的典范解消要仔细检查，真有这样好的解消的话，别人应该早就发现了。为了慎重起见，他让我第二天上午把计算细节讲给他听。讲了不到十分钟，他就说没有问题，结果是正确的。下一步是要寻找三次循环覆盖的应用，同时研究一下高次循环覆盖。

接下来，我一方面对高次循环覆盖作了大量的计算，另一方面，我也在阅读肖刚老师给的几篇有意思的文章，它们都是利用二次覆盖研究代数曲面的。Beauville 的一篇文章吸引了我，他利用二次覆盖和两元编码理论证明空间五次曲面上最多有 31 个奇点，而且构造了一个具有 31 个奇点的例子，因而，解决了经典代数几何中的一个难题。Beauville 还提出了由最简单奇点组成的“偶集”的概念。

这一年的寒假，在回老家过年的途中，我在武汉的姐姐家停留了几天，仔细研读了 Beauville 的论文，我完全模仿他的方法，利用三次循环覆盖和三元编码研究了一些曲面上尖点的最大个数问题。将“偶集”的概念推广为尖点的“3 可除集”（这是后来德国数学家 Barth 所采用的名字。） 得到了几个类似的结论。一个结论是空间三次曲面上最多有三个尖点，正好有 3 个时，这些尖点集合必是 3 可除的，这样的三次曲面可以完全分类出来，曲面的方程很简单。第二个结论，K3 曲面（包含四次曲面）上最多有 9 个尖点，正好 9 个时，尖点集合是 3 可除的，此时 K3 曲面是一个阿贝尔曲面的商曲面。第三个结论，5 次曲面上最多有 20 个尖点，正好 20 时，其中的 15 个尖点必是 3 可除的。

寒假回校后，我马上把这些结果告诉了肖刚老师和陈志杰老师。第二天上课之前，肖刚老师告诉我他构造出一个具有 9 个尖点的 K3 曲面，并在黑板上描述了他的具体构造。这说明对 K3 曲面和尖点来说，9 是最好的上界。另一方面，杨劲根老师证明 4 次曲面上不可能有 9 个尖点。到目前为止，还没有人找到具有 20 个尖点的五次曲面。

过了一段时间，肖刚老师又告诉我，我得到的尖点个数的几个最大值也可以从带奇点的“宫冈-丘成桐不等式”推导出来，并说 Hirzebruch 专门为此写了一篇介绍文章，这篇文章对我的后续研究工作也有很大的影响，但也因为这篇文章，我的这些结果就没有整理出来发表，也没有写进硕士论文。在免试直升博士生的面试上，肖刚老师说介绍一下这些工作就可以了。

1998 年，德国数学家 Barth 发表了一篇文章，他也独立地发现了第二个结论，即 K3 曲面上的 9 个尖点一定组成一个 3 可除集。看到他的论文后，我将我们的这些结果又重新整理出来寄给了 Barth 教授，他来信说他们对用三元编码研究尖点个数的方法很感兴趣，他和他的学生在之后的研究中就是采用了这个方法。

三  对我的博士论文的指导

1989 年秋季，我进入了博士生的学习阶段。同时免试直升为博士生的还有王嘉平，他的博士导师是郑伟安教授。开学后不久，肖刚老师又给了我一个新的博士论文题目，研究在基变换下，纤维化代数曲面的三个不变量的变化关系，即第一、第二陈省身数和曲面的解析欧拉示性数。具体来说就是证明新旧曲面的不变量之间的三个不等式。当时肖刚老师自己对第一陈省身数和解析欧拉示性数证明了不等式关系，并猜测对第二陈省身数也应该满足相同的不等式关系。他给我的博士论文题目就是证明他的这个猜测。肖刚老师几年前就关心此问题，1988 年在日本召开的一个国际会议上，他就把从不变量的角度研究基变换作为一个未解决问题提出来。

肖刚老师正在为上海科技出版社撰写《代数曲面纤维化》一书，他把书稿中有关基变换的两个不等式的证明的部分让我研读。我们知道 Deligne 和 Mumford 研究基变换的主要目的是把任意曲面纤维化转化为所谓的“半稳定纤维化”，后者在研究代数曲线模空间和 Arakelov 几何时非常有用。因为基变换是一个很复杂的过程，通常人们都是定性的研究基变换。从定量的角度系统地研究基变换，肖刚应该是第一人。我特别惊讶的是肖刚老师能够从异常复杂的计算中发现一些新规律，这激励我在研究中主动进行了一些复杂的计算，我也经常以此鼓励学生研究一些需要复杂计算的问题。

拿到这个问题后，我立即投于到基变换的研究，主要的方法就是需要对循环覆盖作大量的计算。这时我才明白肖刚老师为什么让我在硕士阶段时对循环覆盖也作深入地研究。我几乎每天都可以和他见面，讨论问题的进展和碰到的困难。因此，很快从肖刚老师那里学到了很多研究技巧。

在研究基变换的同时，我也在研究硕士阶段时肖刚老师给的问题，继续寻找三次循环覆盖的新应用。在硕士阶段时，我已经知道，很多有意思的应用都归结为寻找带有较多尖点的代数曲面，并且这些尖点组成的集合是 3 可除的。为此，我分析了带有 3 个尖点的三次曲面，研究了为什么这 3 个尖点自动是 3 可除的。这样的三次曲面是平面的三次循环覆盖，分歧曲线是平面上围成一个三角形的三条直线。3 可除的原因是分歧曲线被分裂成三条次数相同的曲线。受此启发，我把三条直线换成三组直线，每一组由三条共点的直线组成，它们两两相交得到 27 个二重交点，3 个三重交点。然后类似地作三次循环覆盖，得到了一个新的曲面，它有 27 个尖点，并且也是 3 可除的。这个曲面是某光滑代数曲面在一个 3 阶自同构作用下的商。在肖刚老师的帮助下，经过计算，发现这个商映射正好是光滑曲面的典范映射，并保持了曲面的几何亏格。这样的曲面是当时代数几何学家正试图寻找的代数曲面，因为很久以前有人猜测这样的曲面不存在。

立即告诉了肖刚老师和陈志杰老师这一发现。当天晚上，肖刚老师就写信把这个曲面告诉给几个国外的同行，在信中，他把 9 条直线作适当的移动，使得可以产生更多的三重交点，这样的覆盖曲面也有相同的性质。第二天，他告诉我，我可以用这个结果做博士论文，提前一年毕业。听到这个消息，我非常高兴。

在写博士论文的过程中，肖刚老师告诉我，在介绍别人的工作时，要用正面的语言，只讲别人做过什么，不要说别人没做什么。这些细节方面的指导让我终生受益。

肖刚老师亲自教我使用他汉化的 TeX 软件“天元”编写数学论文，教我利用他的软件“Texdraw”在论文中画图。有一次，我利用 WPS 输入我的博士论文，几天后，我把输入好的 TeX 文件进行编译时，发现文件中有很多 TeX 不认识的字符。肖刚老师正好也在计算机房，他把我的文件拿去看了一下，告诉我，在输入时应该选择 WPS 的非文本输入，我选择错了。他立即编了一个小程序，把我的文件中隐藏的字符全部去掉了，我不需要重新输入了。机房的管理员在旁边说，肖刚是一个名副其实的计算机专家。

1991 年，肖刚老师在德国波恩的Max-Planck数学研究所访问，3 月 8 日，他来信让我把有关论文寄给他，他说他有机会在马普所介绍我的工作。这对我两年后申请到马普所访问肯定有很大的帮助。肖刚老师没能参加我在六月份的博士论文答辩。当年 7 月，我留校任教。



四  博士课题研究的继续

毕业留校后，我对肖刚老师给我的博士论文题目仍然有非常大的兴趣，花了一年的时间终于证明了他猜测的不等式。在陈志杰老师的讨论班上讲过证明，大家初步认为没有问题后，于 1992 年暑假，我写信给在巴黎访问的肖刚老师，告诉他我的证明的大致思路和步骤。

9 月 23 日，他回信鼓励我说，使用 Milnor 数是个很漂亮的想法，但需要证实，请杨劲根老师看看证明是否正确，他是曲面有限覆盖研究的专家。并说，这是这个问题研究的第一步，以后需要做下去，并求出三个不等式两边的差之间的最佳关系不等式，以此研究高亏格情形的奇异纤维分类问题。十多年后，我才彻底明白这个问题的真正意义和价值。直到 2013 年，我和陆俊才最终把它应用于任意亏格的奇异纤维的分类问题的研究上。

杨老师看过我的证明后提了不少建议，也鼓励我说“不用代数计算，直接从几何上能看出循环覆盖的正规化是个很有用的方法。”由于计算太复杂，以至于杂志的审稿人说，除了审稿人自己，不会有其他人会这么仔细地验证其中的计算。

快放寒假时，肖刚老师短期回到学校。他带回了国外代数几何网上的大量论文。特别是，他给了我一份代数曲面未解决问题的清单，都是他自己研究过的问题或感兴趣的问题，并在每个问题后加上了评注：非常难，难，可以研究。我是在这个清单上看到 Beauville 关于奇异纤维个数的猜想。

在肖刚、陈志杰和 Beauville 的推荐下，我于 1993 年 10 月 15 日到波恩的 Max-Planck 数学研究所访问，Hirzebruch 是当时的所长，由于我的博士论文是投给他的，他对我的研究工作有所了解，到研究所报到的当天，他就让我去他的办公室，告诉我他也很喜欢代数曲面，知道我是肖刚的学生，问我最近在研究什么问题。我详细地告诉他在研究肖刚关于基变换的不变量和 Beauville 的猜测。他接着告诉我，Serge Lang 对纤维化代数曲面也很感兴趣，他每年会到研究所访问三个月，让我多和他交流。

在研究所除了听报告，就是在办公室做自己的研究，很快我就在肖刚的问题和 Beauville 猜想上取得进展。第二年春天，研究所举办了“算术代数几何”的国际会议，Lang 、张寿武和翁林等很多算术代数几何学家都来到波恩。我向 Lang 介绍了我最近的研究工作后，他马上建议我考虑他曾经提出的一个问题，寻找函数域上的代数曲线的线性且有效的高度不等式。由于我有了基变换的研究基础，再加上硕士阶段肖刚让我对 Hirzebruch 的一篇论文的深入研读，一个月之内我就找到了 Lang 所想要的高度不等式。通常，人们会要求曲线是半稳定的，但我得到的高度不等式对任何曲线都成立，这要归功于肖刚指导我对基变换的研究。Lang 对这个不等式很满意，建议我进一步研究数域上的曲线的一些算术问题，并让他的几个朋友寄给我相关的研究论文，还介绍我认识了在研究所参加会议的几位专家。实际上，我当时对算术几何也非常感兴趣，对 Beauville 猜想的研究就是受到算术几何中的 Arakelov 不等式的启发。

1994年7月初，肖刚邀请我到尼斯大学访问了一个星期，吃住在他家里。他每天开车带我去学校的办公室和他讨论问题，参加他们的讨论班。我在讨论班上作了两次演讲，一次是关于高度不等式的，另一次是关于 Beauville 猜测的。演讲之后，他告诉我，演讲时，尽量采用大家熟知的符号，例如，不要用纤维化相对不变量的符号，直接用陈省身数来描述，这样演讲的效果会更好。

在办公室里，他让我介绍了关于基变换的结果，他了解了一些细节后，没有像以前一样建议我下一步该做什么，他转而问我是否仔细读过他关于代数曲面自同构群上界的文章。从交谈中我能感受得到他非常满意这篇文章中的结果。文章分两部分，合在一起就是一本书。他的研究方法和所有其他人的都不同，他是直接考虑曲面在自同构群作用下的商曲面。事实上，这是最自然的想法，但是，这需要研究任意次数的伽罗华覆盖，没有现成的理论可用，人人都知道这个方法需要非常复杂的理论计算，因此都不会选择这个方法。这篇文章再次显示了肖刚老师非凡的计算功底。我告诉他，我初略地读了一下这两篇文章，因为他已经得到了最好结果，我就没有仔细读。他说，对这两篇文章没仔细读就等于没读。

他还告诉我说，文章投出去不久，就有一位代数几何学家告诉他在读这篇文章的第二部分，并且一直用电子邮件问他文章中的问题。他怀疑这个人是审稿人，所以，每次都很认真地回答了每一个问题，这样持续了半年多的时间，等回答完最后一个问题后不久，文章就被接受了。这使他更加确信这个人就是审稿人。

2011 年，德国一所大学的代数几何学家们组织了半年的讨论班专门研究这两篇文章，讨论班的组织者告诉我他们组织这样的讨论班的原因： 肖刚的这个结果是代数曲面最重要的成果之一，有必要仔细研读。萧荫堂教授也建议我们组织讨论班，研究这两篇文章，尽量简化证明，让更多的人可以读懂证明。
在尼斯大学访问期间，我向肖刚老师说起我对算术几何很有兴趣，但当时 Arakelov 几何的研究受到费尔马问题最终解决的很大冲击，我犹豫是否要把主要精力转向算术几何。这时，他谈了他的观点，他认为要把复数域上的宫冈－丘成桐不等式推广到代数数域上去，关键是要先在几何上给出这个不等式的一个新证明，它不依赖于底曲线的全纯微分的性质。没有几何上的这个证明，估计很难在数域上找到好的高度不等式，原因是算术曲线上没有微分的概念。因此，最关键的部分还是一个代数曲面的问题。受到他的观点的影响，我最后还是决定把主要精力放在代数曲面的研究上。的确，近二十年来，数论学家们一直在试图寻找新的方法，要么建立算术曲线上微分的概念，要么避免在证明宫冈－丘成桐不等式时，用到底曲线上的微分。

在尼斯大学讨论班休息期间，肖刚老师的一个同事告诉我，肖刚的计算机水平绝对高于计算机学科的博士的水平。他还告诉我，参加肖刚的博士论文答辩的一位教授之后评价说，如果你低着头，根本听不出是一位外国人在讲台上用法语答辩。这让我想起我读硕士时问肖刚老师的一个问题，“听说你是通过背法语字典学法语，背完一页就撕掉一页，撕完整本字典，你的法语就学会了”。他回答说：“你不这样学，还有什么别的方法”。

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五  关于有限覆盖的研究

现在回想起来，肖刚老师在给我硕士和博士论文题目的同时，实际上是给了我两个大的研究方向，在这两个研究领域中，至今还有很多重要的问题未被解决。对两个问题的研究越深入，越能看出其重要性。

应该说“有限覆盖问题”和“基变换的不变量问题”都不是当时的热点问题，都是属于要建立代数曲面研究的工具和方法的基础性问题。两个问题的研究都需要复杂的计算，研究的结果也未必能引起很多人的兴趣。但是，实际的情况是，研究的结果可以应用于很多其它问题的研究，能得出意想不到新结果。从这个角度来说，这样的基础性问题更值得研究。

有限覆盖理论是代数几何的现代语言，经典语言叫代数函数论。本质上来讲，有限覆盖的研究就是要在代数流形上解代数方程。用经典的语言，n 次覆盖就是研究一个 n 次代数函数域，即函数域上的 n 次扩域。研究的第一步是计算扩张的整闭包，数论上的说法就是求扩域中所有的代数整数，函数论上的说法就是求扩域中所有的整函数，代数几何上的说法就是要计算正规化。第二步就是奇点的解消和不变量的计算。

肖刚对二次覆盖有非常深入的研究，他以此为工具，对超椭圆代数曲面的分类作出了重要贡献。他对高次覆盖也进行过研究，例如，他研究曲面自同构群所用的独特方法就是任意次数的伽罗华有限覆盖理论。我们知道，两次曲线的研究属于初等数学，但次数大于二的曲线就无法用初等方法来研究，比如三次光滑曲线就是椭圆曲线，对它的研究是现代数学中的重要组成部分。这种现象在覆盖的研究上同样出现，二次以上的覆盖的研究涉及到现代数学中的很多部分，就拿三次覆盖来说，很多我们熟知的研究问题，本质上和三次覆盖的研究等价，也就是说，可以用三次方程来研究。这为三次覆盖的研究提出了一系列新问题。在这里我列举几个这样的问题。

用三次覆盖描述 Bhargava 关于二元三次型的复合律。美国科学院的年轻院士 Bhargava 几年前发现了二元三次型的“复合律”，推广了高斯关于二元二次型的著名复合律（这是他今年获得费尔兹奖的主要工作之一）。他提出了一个问题，如何将他发现的复合律推广到代数簇上去。由于代数簇上的二元三次型就是三次覆盖，因此，Bhargava 的问题就是要用三次覆盖来描述他的复合律。

用三次覆盖来研究 abc 型的问题。在三次覆盖的正规化计算中，我们发现等式 a+b=c 和三次方程之间有一个自然的一一对应。也就是说，等式 a+b=c 和三次覆盖之间可以相互转化。当 a，b，c 是多变量多项式时，通过三次覆盖的不变量的计算可以把代数几何中的一些深刻的关系转化到等式 a+b=c 上来。这也许可以帮助我们更深刻地理解数学中的等式 a+b=c 。德国数学家 Frey 将此等式与一条椭圆曲线相联系，在我们这里，三次覆盖起到的作用和椭圆曲线的作用类似。

用三次覆盖来描述 Donaldson 理论和 Seilberg-Witten 理论之间的关系。从理论上来说，代数曲面上的秩二向量丛都可以由代数曲面上的一个三次方程构造出来。三次方程有公式解，通过一个开平方，再开一个立方，就可以求出方程的根。用几何的语言，就是通过一个二次基变换，三次覆盖就变成了一个三次循环覆盖。原来的秩二向量丛就和二次基变换后的曲面上的秩一向量丛（线丛）联系起来了，而后者显然比前者容易研究。这一现象也出现在 Donaldson 理论和 Seilberg-Witten 理论之间，前者是建立在秩二向量丛的模空间理论上的。如能用三次覆盖来揭示这两个理论之间的关系，那将是很有意义的事情。

用三次覆盖来研究著名的 Hartshorne 猜想。由于射影空间上的秩二向量丛都可以由一个好的三次覆盖（即三次方程）构造出，因此，理论上可以用三次覆盖来研究 Hartshorne 猜想：维数大于 6 的复射影空间上的秩二全纯向量丛都是线丛的直和。这时，二元三次型的一些不变量理论就可以应用于此问题的研究。

三次覆盖和这些问题的联系是一个值得深入研究的问题，它可能比三次覆盖在代数曲面分类中的应用更有意义。所有和三次覆盖有密切联系的问题的研究还远未解决。

总之，从有限覆盖问题的研究可以看出肖刚的研究特色和创新之处。

六  关于代数曲面纤维化的基变换的研究

大概从 1988 年起，肖刚开始关心代数曲面纤维化的基变换对代数曲面的陈省身数的影响问题，即曲面纤维化的不变量在基变换下的变化规律的问题。基变换的作用就是把任意的纤维化转化为好的纤维化，即半稳定纤维化。这个过程通常被称为半稳定约化。Deligne 和 Mumford 等代数几何学家研究半稳定约化的目的是要研究代数曲线的模空间。从量的角度研究半稳定约化是肖刚的首创。

在伯克利期间，肖刚首先研究了半稳定约化所要的基变换的最小次数问题。之后，他发现了相对陈省身数在基变换下的不等式关系。在肖刚的建议下，我在波恩访问期间继续这个问题的研究，最终完全搞清楚了不变量的变化规律，发现了用陈省身数计算曲线束的模不变量（即模陈省身数）的计算公式。

直到 2008 年，我们才意识到这些模陈省身数的计算公式的作用。在讨论班上，博士生龚成发现，日本著名数学家小平邦彦在 1960 年代时，对椭圆纤维化已经得到了和我们一样的公式，并且模陈省身数就是椭圆曲线著名的 J-函数的次数。自那时起，一些代数几何学家就试图把小平邦彦公式的推广任意亏格的纤维化。而我们得到的公式正好是这样的一个推广。顿时我们都觉得这些公式应该有更多的应用。比方说，给定两个变量的多项式 f(x,y) ，参数曲线  f(x, y)=t 的模陈省身数就是 f(x,y) 的新不变量。

用通俗的语言和新的观点来介绍肖刚研究的这一问题，我们可以看出它不仅是代数几何研究的重要问题，也是其他领域的数学家关心的重要问题。

代数曲面纤维化就是研究“参数曲线”Ct ，曲线束有参数方程 f(x,y,t)=0 ，t 是参数。曲线束中的曲线组成一个曲面，即方程定义的曲面。所谓基变换，就是将参数 t 换为新的参数 T ，局部来看，旧参数是新参数的多项式，t=p(T) , 曲线束可以用新的参数来参数化。肖刚研究的问题就是曲线束的不变量对参数的依赖关系。从这项研究的结果可以发现，曲线束的相对陈省身数和参数有关，然而，模陈省身数与参数无关。这一事实在数学其它领域中可能有新的应用。

该项研究在微分方程中的应用。19 世纪末，Darboux , Poincare , Painleve 和 Hilbert 等人就试图利用曲线束的拓扑来研究微分方程 P(x,y)dy=Q(x,y)dx 的整体性质，著名的 Hilbert 16 问题就是关于代数曲线束的拓扑问题和微分方程的定性问题。如果曲线束来自该微分方程的解，那么，曲线束的模陈省身数就是微分方程的拓扑不变量，因为它不依赖于参数。利用得到的模陈省身数的计算公式，我们可以对任意的微分方程定义其陈省身数，这正好就是 19 世纪的数学家们希望寻找的微分方程的拓扑不变量。这些不变量有可能在该微分方程的整体性质的研究中发挥作用。

该研究在数论中可能的应用。曲线束可以看作函数域上的一条代数曲线，和数域上的代数曲线有很强的类比性。Arakelov 理论就是试图在数域上建立和函数域上的曲线类似的理论，比如，建立代数点的高度不等式，用于研究丢番图问题。函数域上已经有了好的高度不等式，然而，要把这个不等式推广到数域上去碰到了一个暂时无法克服的困难，就是在函数域上可以对参数进行微分，而在数域上没有对应的概念。也就是说，函数域上的高度不等式与曲线束的参数有关。为了避免此困难，一个值得一试的途径是，在函数域上建立只与曲线束的模陈省身数有关的高度不等式，模陈省身数与参数无关，其证明可能有希望向数域上推广。

该研究在动力系统中的应用。曲线束的参数在曲线模空间上的轨迹是一条曲线。另一方面，曲线束的相对不变量满足几个 Arakelov 型的不等式，左康和他在德国的两位同事证明，这些不等式的等号成立，当且仅当参数在曲线模空间的轨迹曲线分别是泰希米勒（Teichmüller）曲线和志村（Shimura）曲线。泰希米勒曲线的是动力系统的研究课题，今年获得菲尔兹奖的伊朗女数学家 Maryam Mirzakhani 的获奖工作就是研究泰希米勒曲线。志村曲线是数论学家研究的对象，关于它有很多未解决的问题。

代数曲面纤维化理论和有限覆盖理论是肖刚教授研究代数曲面最具特色的方法，他对这两个理论的发展做出了开创性的贡献。他在代数曲面理论的研究上取得的几项重大成果的背后，都可以看到这两个工具所发挥的巨大作用。国内外很多学者的研究都受到肖刚开创的研究方法的影响。

今年 4 月份的时候，我的同事邱瑞峰教授在校车上告诉我说，中国有几位数学家的学术生涯很顺利，他们的共同点都是遇上了好的导师，导师指引了好的研究方向，让他们没走弯路。并说，我就是其中之一。我非常赞同他的观点。

肖刚简介

肖刚，1951 年 9 月出生于江苏无锡。曾任华东师范大学教授，现任法国尼斯大学教授。2014 年 6 月 27 日因病去世。肖刚读初中时被送往苏北农村插队落户。在农村插队期间自学了高中和大学课程, 1977 年 10 月考取中国科大研究生。1980 年 1 月赴法国巴黎南大学留学, 1984 年 2 月获法国国家博士，1984 年 5 月回国到华东师范大学任教。1986 年 9 月至 1988 年 6 月又先后到美国普林斯顿的高等研究所和伯克莱的数学研究所作研究。1986 年晋升为教授，后获得博士生导师资格。曾任中华全国青年联合会委员和上海市政协委员。1986 年获国家教委科技进步一等奖，1987 年获国家自然科学三等奖；1989 年获霍英东青年教师奖 (研究类一等)；获第三届陈省身数学奖。1992 年 10 月起法国尼斯大学数学系教授。

谈胜利 返朴 2024 年 09 月 13 日 09:41 北京

luyuanhong

五  关于有限覆盖的研究

现在回想起来，肖刚老师在给我硕士和博士论文题目的同时，实际上是给了我两个大的研究方向，在这两个研究领域中，至今还有很多重要的问题未被解决。对两个问题的研究越深入，越能看出其重要性。

应该说“有限覆盖问题”和“基变换的不变量问题”都不是当时的热点问题，都是属于要建立代数曲面研究的工具和方法的基础性问题。两个问题的研究都需要复杂的计算，研究的结果也未必能引起很多人的兴趣。但是，实际的情况是，研究的结果可以应用于很多其它问题的研究，能得出意想不到新结果。从这个角度来说，这样的基础性问题更值得研究。

有限覆盖理论是代数几何的现代语言，经典语言叫代数函数论。本质上来讲，有限覆盖的研究就是要在代数流形上解代数方程。用经典的语言，n 次覆盖就是研究一个 n 次代数函数域，即函数域上的 n 次扩域。研究的第一步是计算扩张的整闭包，数论上的说法就是求扩域中所有的代数整数，函数论上的说法就是求扩域中所有的整函数，代数几何上的说法就是要计算正规化。第二步就是奇点的解消和不变量的计算。

肖刚对二次覆盖有非常深入的研究，他以此为工具，对超椭圆代数曲面的分类作出了重要贡献。他对高次覆盖也进行过研究，例如，他研究曲面自同构群所用的独特方法就是任意次数的伽罗华有限覆盖理论。我们知道，两次曲线的研究属于初等数学，但次数大于二的曲线就无法用初等方法来研究，比如三次光滑曲线就是椭圆曲线，对它的研究是现代数学中的重要组成部分。这种现象在覆盖的研究上同样出现，二次以上的覆盖的研究涉及到现代数学中的很多部分，就拿三次覆盖来说，很多我们熟知的研究问题，本质上和三次覆盖的研究等价，也就是说，可以用三次方程来研究。这为三次覆盖的研究提出了一系列新问题。在这里我列举几个这样的问题。

用三次覆盖描述 Bhargava 关于二元三次型的复合律。美国科学院的年轻院士 Bhargava 几年前发现了二元三次型的“复合律”，推广了高斯关于二元二次型的著名复合律（这是他今年获得费尔兹奖的主要工作之一）。他提出了一个问题，如何将他发现的复合律推广到代数簇上去。由于代数簇上的二元三次型就是三次覆盖，因此，Bhargava 的问题就是要用三次覆盖来描述他的复合律。

用三次覆盖来研究 abc 型的问题。在三次覆盖的正规化计算中，我们发现等式 a+b=c 和三次方程之间有一个自然的一一对应。也就是说，等式 a+b=c 和三次覆盖之间可以相互转化。当 a，b，c 是多变量多项式时，通过三次覆盖的不变量的计算可以把代数几何中的一些深刻的关系转化到等式 a+b=c 上来。这也许可以帮助我们更深刻地理解数学中的等式 a+b=c 。德国数学家 Frey 将此等式与一条椭圆曲线相联系，在我们这里，三次覆盖起到的作用和椭圆曲线的作用类似。

用三次覆盖来描述 Donaldson 理论和 Seilberg-Witten 理论之间的关系。从理论上来说，代数曲面上的秩二向量丛都可以由代数曲面上的一个三次方程构造出来。三次方程有公式解，通过一个开平方，再开一个立方，就可以求出方程的根。用几何的语言，就是通过一个二次基变换，三次覆盖就变成了一个三次循环覆盖。原来的秩二向量丛就和二次基变换后的曲面上的秩一向量丛（线丛）联系起来了，而后者显然比前者容易研究。这一现象也出现在 Donaldson 理论和 Seilberg-Witten 理论之间，前者是建立在秩二向量丛的模空间理论上的。如能用三次覆盖来揭示这两个理论之间的关系，那将是很有意义的事情。

用三次覆盖来研究著名的 Hartshorne 猜想。由于射影空间上的秩二向量丛都可以由一个好的三次覆盖（即三次方程）构造出，因此，理论上可以用三次覆盖来研究 Hartshorne 猜想：维数大于 6 的复射影空间上的秩二全纯向量丛都是线丛的直和。这时，二元三次型的一些不变量理论就可以应用于此问题的研究。

三次覆盖和这些问题的联系是一个值得深入研究的问题，它可能比三次覆盖在代数曲面分类中的应用更有意义。所有和三次覆盖有密切联系的问题的研究还远未解决。

总之，从有限覆盖问题的研究可以看出肖刚的研究特色和创新之处。

六  关于代数曲面纤维化的基变换的研究

大概从 1988 年起，肖刚开始关心代数曲面纤维化的基变换对代数曲面的陈省身数的影响问题，即曲面纤维化的不变量在基变换下的变化规律的问题。基变换的作用就是把任意的纤维化转化为好的纤维化，即半稳定纤维化。这个过程通常被称为半稳定约化。Deligne 和 Mumford 等代数几何学家研究半稳定约化的目的是要研究代数曲线的模空间。从量的角度研究半稳定约化是肖刚的首创。

在伯克利期间，肖刚首先研究了半稳定约化所要的基变换的最小次数问题。之后，他发现了相对陈省身数在基变换下的不等式关系。在肖刚的建议下，我在波恩访问期间继续这个问题的研究，最终完全搞清楚了不变量的变化规律，发现了用陈省身数计算曲线束的模不变量（即模陈省身数）的计算公式。

直到 2008 年，我们才意识到这些模陈省身数的计算公式的作用。在讨论班上，博士生龚成发现，日本著名数学家小平邦彦在 1960 年代时，对椭圆纤维化已经得到了和我们一样的公式，并且模陈省身数就是椭圆曲线著名的 J-函数的次数。自那时起，一些代数几何学家就试图把小平邦彦公式的推广任意亏格的纤维化。而我们得到的公式正好是这样的一个推广。顿时我们都觉得这些公式应该有更多的应用。比方说，给定两个变量的多项式 f(x,y) ，参数曲线  f(x, y)=t 的模陈省身数就是 f(x,y) 的新不变量。

用通俗的语言和新的观点来介绍肖刚研究的这一问题，我们可以看出它不仅是代数几何研究的重要问题，也是其他领域的数学家关心的重要问题。

代数曲面纤维化就是研究“参数曲线”Ct ，曲线束有参数方程 f(x,y,t)=0 ，t 是参数。曲线束中的曲线组成一个曲面，即方程定义的曲面。所谓基变换，就是将参数 t 换为新的参数 T ，局部来看，旧参数是新参数的多项式，t=p(T) , 曲线束可以用新的参数来参数化。肖刚研究的问题就是曲线束的不变量对参数的依赖关系。从这项研究的结果可以发现，曲线束的相对陈省身数和参数有关，然而，模陈省身数与参数无关。这一事实在数学其它领域中可能有新的应用。

该项研究在微分方程中的应用。19 世纪末，Darboux , Poincare , Painleve 和 Hilbert 等人就试图利用曲线束的拓扑来研究微分方程 P(x,y)dy=Q(x,y)dx 的整体性质，著名的 Hilbert 16 问题就是关于代数曲线束的拓扑问题和微分方程的定性问题。如果曲线束来自该微分方程的解，那么，曲线束的模陈省身数就是微分方程的拓扑不变量，因为它不依赖于参数。利用得到的模陈省身数的计算公式，我们可以对任意的微分方程定义其陈省身数，这正好就是 19 世纪的数学家们希望寻找的微分方程的拓扑不变量。这些不变量有可能在该微分方程的整体性质的研究中发挥作用。

该研究在数论中可能的应用。曲线束可以看作函数域上的一条代数曲线，和数域上的代数曲线有很强的类比性。Arakelov 理论就是试图在数域上建立和函数域上的曲线类似的理论，比如，建立代数点的高度不等式，用于研究丢番图问题。函数域上已经有了好的高度不等式，然而，要把这个不等式推广到数域上去碰到了一个暂时无法克服的困难，就是在函数域上可以对参数进行微分，而在数域上没有对应的概念。也就是说，函数域上的高度不等式与曲线束的参数有关。为了避免此困难，一个值得一试的途径是，在函数域上建立只与曲线束的模陈省身数有关的高度不等式，模陈省身数与参数无关，其证明可能有希望向数域上推广。

该研究在动力系统中的应用。曲线束的参数在曲线模空间上的轨迹是一条曲线。另一方面，曲线束的相对不变量满足几个 Arakelov 型的不等式，左康和他在德国的两位同事证明，这些不等式的等号成立，当且仅当参数在曲线模空间的轨迹曲线分别是泰希米勒（Teichmüller）曲线和志村（Shimura）曲线。泰希米勒曲线的是动力系统的研究课题，今年获得菲尔兹奖的伊朗女数学家 Maryam Mirzakhani 的获奖工作就是研究泰希米勒曲线。志村曲线是数论学家研究的对象，关于它有很多未解决的问题。

代数曲面纤维化理论和有限覆盖理论是肖刚教授研究代数曲面最具特色的方法，他对这两个理论的发展做出了开创性的贡献。他在代数曲面理论的研究上取得的几项重大成果的背后，都可以看到这两个工具所发挥的巨大作用。国内外很多学者的研究都受到肖刚开创的研究方法的影响。

今年 4 月份的时候，我的同事邱瑞峰教授在校车上告诉我说，中国有几位数学家的学术生涯很顺利，他们的共同点都是遇上了好的导师，导师指引了好的研究方向，让他们没走弯路。并说，我就是其中之一。我非常赞同他的观点。

肖刚简介

肖刚，1951 年 9 月出生于江苏无锡。曾任华东师范大学教授，现任法国尼斯大学教授。2014 年 6 月 27 日因病去世。肖刚读初中时被送往苏北农村插队落户。在农村插队期间自学了高中和大学课程, 1977 年 10 月考取中国科大研究生。1980 年 1 月赴法国巴黎南大学留学, 1984 年 2 月获法国国家博士，1984 年 5 月回国到华东师范大学任教。1986 年 9 月至 1988 年 6 月又先后到美国普林斯顿的高等研究所和伯克莱的数学研究所作研究。1986 年晋升为教授，后获得博士生导师资格。曾任中华全国青年联合会委员和上海市政协委员。1986 年获国家教委科技进步一等奖，1987 年获国家自然科学三等奖；1989 年获霍英东青年教师奖 (研究类一等)；获第三届陈省身数学奖。1992 年 10 月起法国尼斯大学数学系教授。

谈胜利 返朴 2024 年 09 月 13 日 09:41 北京