一类无穷积分计算

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一类无穷积分计算

原创 嘉遁蝉雏 复析数理 2024 年 08 月 11 日 11:33 山西

对于无穷区间上的积分，如果是有理函数，分母次数比分子次数高过 1 次，就是收敛的，可是这里积分有的却用数学分析原函数方法很难计算，尤其是涉及到分数指数幂和对数的情况更是如此，对数函数和分数指数在复变函数论里是多值函数，在单值解析分支内，留数理论计算周线上的复积分仍然成立，而正是这样的多值性，我们可以选择正实轴为支割线，如下图，大圆周和小圆周上积分都等于 0 时，剩余的两个曲线就是正实轴上反向的积分，而这两条反向曲线上表面看是同一曲线反向而行，实际上在单值分支内，这两个曲线的多值是不一样，正好利用这一点，可以计算一类无穷反常积分。下面我们来讨论这类积分。首先我们看一个定理：



这个定理的证明采用作辅助线，将反常积分转化为封闭曲线上的复积分，然后利用留数定理可以证明，具体过程如下：





这样可以留数理论计算很多无穷区间的反常积分，比如下面两个题目都可以用这个定理来计算积分：







下面的习题也可以用这个定理来计算：



这里用留数理论计算时，如果出现了对数函数或者分数指数时，这在复变函数里是多值函数了，所作辅助线是一个单值解析分支内的函数，因此对同样的反向正实轴来说，被积函数中的多值性要注意化为对数形式再计算。正是：

辅作同心大小圆，线开上下两边缘，非零极点谋留数，巧得积分奇又玄。

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