三根式函数怎么求最大值？

王守恩

三根式函数怎么求最大值？

f(x) = sqrt(21 - 3*x) + sqrt(45 - 5*x) + sqrt(8*x -16)

目的很明确。f(x) = sqrt(C - A*x) + sqrt(D - B*x) + sqrt((A+B)*x -E),  来个"通项公式"。

王守恩

\(先复习一下，双根式函数求最大值。\)

\(求\ \sqrt{A-Bx}+\sqrt{x-C}\ \ 的最大值。\)

\(当\ x=\frac{A+B^2C}{B(B+1)}\ \ 时，\sqrt{A-Bx}+\sqrt{x-C}\ \ 的最大值=\sqrt{\frac{A-BC}{B/(B+1)}}。\)

\(譬如：求\ \sqrt{10-2x}+\sqrt{x-1}\ \ 的最大值。\)

\(当\ x=\frac{10+2^2*1}{2(2+1)}=\frac{7}{3}\ \ 时，\sqrt{10-2x}+\sqrt{x-1}\ \ 的最大值=\sqrt{\frac{10-2*1}{2/(2+1)}}=2\sqrt{3}。\)

\(可以简化。\)

\(\sqrt{A-Bx}+\sqrt{x-C}\ 的最大值\ ≡\ \sqrt{D-Bx}+\sqrt{x}\ 的最大值\ ≡\ \sqrt{\frac{D}{B/(B+1)}}\)

王守恩

先来个最简单的。

\(求\ \sqrt{15+3n-3x}+\sqrt{35+5n-5x}+\sqrt{8x-8n}\ \ 的最大值。\)
n=1,   x=3,   最大值=12。
n=2,   x=4,   最大值=12。
n=3,   x=5,   最大值=12。
n=4,   x=6,   最大值=12。
n=5,   x=7,   最大值=12。
n=6,   x=8,   最大值=12。
n=7,   x=9,   最大值=12。
n=8,   x=10,  最大值=12。
n=9,   x=11,  最大值=12。
n=10,  x=12,  最大值=12。
n=11,  x=13,  最大值=12。
n=12,  x=14,  最大值=12。
n=13,  x=15,  最大值=12。
n=14,  x=16,  最大值=12。
n=15,  x=17,  最大值=12。
n=16,  x=18,  最大值=12。
n=17,  x=19,  最大值=12。
n=18,  x=20,  最大值=12。
n=19,  x=21,  最大值=12。