基本不等式应用之不一样的三角换元

luyuanhong

基本不等式应用之不一样的三角换元

原创 数之缘 高中数学学习方法研究 2024 年 08 月 19 日 23:38 山东

前面一篇文章中，我们介绍了通过仔细观察和精准的判断，利用基本不等式求最值。

前面一篇文章，感兴趣的读者可以回看：

《敏锐的观察加上精准的判断，解决看似复杂的基本不等式问题！》

实际上，看到两项和为 1 ，也许会有人想到通过三角换元来做这个题。

通过三角换元方法来做的时候，可以充分利用三角恒等式来进行变形，直至可利用基本不等式得到最值。

下面来看具体的分析和求解过程。

例题：



分析：

题给条件为两项和为 1，那么可不可以利用三角换元来做呢？

三角函数中，和为 1 则容易联想到 (sinx)^2 + (cosx)^2 = 1 ，注意到 a＞0 ，b＞0 ，因此 sinx 及 cosx 不能为 0 ；如果利用此方式进行三角换元，能不能做出来呢？

解：令



通过三角换元，似乎揭示出了一些更加内在的东西，更容易看到两项之积为常数。即使没有敏锐的观察能力，也能“创造”出利用基本不等式的条件。

怎么样，各位小伙伴，你们还有其他的解法吗？

高中数学学习方法研究

波斯猫猫

a＞0 ，b＞0 ，由1/a+1/b=1得b-1=1/(a-1)，且a＞1，b＞1，

故4/(a-1)+16/(b-1)=4/(a-1)+16(a-1)≥2√[16(a-1)×4/(a-1)]=16.

当且仅当4/(a-1)=16(a-1)，即a=3/2，b=3时等号成立.

怎么样，各位小伙伴，你们还有其他的解法吗？

怎么样？各位小伙伴，请不要把简单问题复杂化.

王守恩

没谋面的朋友！挑战一下？给出通解(用 k 表示 a, b, 最小值)。

\(已知\ a>0,\ b>,\ 且\ \frac{k}{a}+\frac{k+1}{b}=1,\ 求\ \ \frac{k+2}{a-1}+\frac{k+3}{b-1}\ 的最小值。k=1,2,3,4,5,...\)