没有人比欧拉更有能力去概括微积分在 18 世纪的黄金年代

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没有人比欧拉更有能力去概括微积分在 18 世纪的黄金年代

作者：戴维·M. 布雷苏 图灵新知 2024 年 08 月 16 日 19：02 北京


欧拉向科学界展示了微积分的强大威力：一方面，他系统且成功地解决了力学、流体力学和天文学等方面的问题；另一方面，他还为后来的科学家们展开研究工作奠定了坚实的数学基础。时至今日，人们依旧从这种基础中受益。

接近现代数学意义的“函数”一词，最早出现在 17 世纪 90 年代莱布尼茨和约翰·伯努利的书信往来中。尽管在当时，它仅仅表示需要被计算的非特定量，而并非需要计算的对应法则。到了 1718 年，伯努利将函数理解为计算某一个量的法则。作为伯努利的学生，莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler , 1707—1783）热烈地回应了这一观点。1748 年，在《无穷分析引论》（Introduction to Analysis of the Infinite）的开篇中，欧拉给出了如下的定义：

单变量函数是指该变量和常量（即常数）以任意方式组成的解析表达式。

七年后，在《微分学基础》（Foundations of Differential Calculus）一书中，欧拉就之前的定义进行了拓展，并阐明了函数的意义，此时，函数建立了两个变量之间的联系。

我们将依赖于某种变量的量，即，可以通过某种变换，因某种变量改变而变化的量，称为这种变量的函数。上述定义的适用范围相当之宽，它包含了所有以各种方式可由某变量决定的量；换言之,若令 x 表示变量，我们会将所有以任意方式依赖于 x 或者由 x  决定的量都称为函数。

恰恰是在这个简洁的定义中，欧拉为我们指明了微积分发展的一个重要转变：从几何的观点转向了函数的观点。此时，函数关系摆脱了它必须来自几何的束缚，人们可将函数关系应用在更为广阔的情形，只要这种情形可以被建模。这就为人们认知微分方程提供了所有的可能性。

莱昂哈德·欧拉在瑞士巴塞尔成长。进入大学之时，欧拉原本打算成为一名牧师。1705 年，在欧拉出生的两年前，雅克布·伯努利去世。他的弟弟约翰接任了他的职位。欧拉进入巴塞尔大学不久，约翰·伯努利很快就发现并盛赞了欧拉的数学天分。1727 年，欧拉与密友丹尼尔（Daniel，1700—1782）—— 约翰的儿子，同样是一位富有天分的数学家 —— 一道前往俄国的圣彼得堡，在新近成立的圣彼得堡科学院中任职。直到 1741 年，腓特烈二世（King Frederick II），也就是人们熟知的腓特烈大帝（Frederick the Great），任命欧拉为德国国家天文台台长，欧拉才离开俄国，前往柏林。

腓特烈大帝将那个时代一些最伟大的哲学家招致麾下，包括伏尔泰（Voltaire）、莫佩尔蒂（Maupertuis）、德尼·狄德罗（Denis Diderot , 1713—1784）和孟德斯鸠（Montesquieu）。腓特烈很享受与这些哲学家们进行睿智对话的过程，但他对缺少这种天资的欧拉感到失望不已。而欧拉同样为一些费时费力的任务而沮丧。1766 年，欧拉接受凯瑟琳二世（Catherine II），即凯瑟琳大帝（Catherine the Great）的任命，再次回到圣彼得堡。在这里，欧拉得以全身心投入他感兴趣的研究中。将近 30 岁的时候，欧拉患了眼疾，这使得他一只眼睛失明。此后，欧拉另外一只眼睛的视力逐渐退化，并在其人生的最后 12 年里完全失明。令人震惊的是，这几乎并未影响欧拉在科研方面的高产。

没有人比欧拉更有能力去概括微积分在 18 世纪的黄金年代。同样没有人能够像他一样高产：欧拉的论文集共有 84 卷，每一卷都在 300 页与 600 页之间；这还不算 4 卷未发表的研究工作。欧拉的研究兴趣十分广泛，他认为清晰的表述与原创的发现同样重要。

欧拉为数学文章的发表设立了标准，这种标准非常符合现代的风格：慎重地选择数学符号，以在行文中插入居中公式的形式展开论证。欧拉推广了用字母 π 表示圆的周长与直径的比值，他还是第一个用字母 e 表示自然对数的底数的人。尽管在笛卡儿的时代就已经出现了指数的记号，但欧拉才是引入指数函数 a^x（给定底数 a ，对数函数的反函数）之人。接下来，他还开创了将对数函数视作指数函数的反函数的先例。

欧拉向科学界展示了微积分的强大威力：一方面，他系统且成功地解决了力学、流体力学和天文学等方面的问题；另一方面，他还为后来的科学家们展开研究工作奠定了坚实的数学基础。时至今日，人们依旧从这种基础中受益。

欧拉精通微分方程：他不仅可以利用微分方程描述物理现象，而且可以完成求解这些方程。这一点在其关于流体力学的研究中最为明显。1752 年,他发表了名为《流体的运动原理》（“Principia motus fluidorum”）的论文。在这里，欧拉的研究对象从二维流体发展到三维流体。将时间添加为自变量后，欧拉得到了从 4 个自变量（即 x，y，z，t ，其中 3 个变量表示位置信息，另外 1 个变量表示时间）变为 3 个分量的函数（流体在某一位置、某一时刻的速度体现在 3 个分量 u，v，w 上）。在常量流体，也就是现在人们提及的不可压缩流体（流入每个部分的流体的量等于流出的量）的情形下，若采用现代偏导数的记号，欧拉证明了



人们现在将这个结果称为散度定理。这个结果是现代诸多物理学分支的基础，不仅包括流体力学、空气动力学，还包括热传导方程和电磁方程。

尽管欧拉的论证稍显复杂，但是，鉴于它能够体现函数的语言是如何为欧拉的分析提供便利的，我们依旧有必要对二维流体这个特殊情形展开叙述。为方便读者，我们将采用偏导数的现代记号。欧拉将微分视作无穷小量,并借助微分的语言展开讨论。尽管他意识到，直接将具有良好定义的比例视作 0 会产生问题，但他也的确看到了这种工具提供的强大威力。

选定流体上由 (x,y)、(x + dx,y) 和 (x,y + dy) 组成的小三角形片，以及依赖于坐标信息的速度向量 < u(x,y)，v(x,y) > 。欧拉首先对它的运动情况进行分析。若考察流体在某一点的运动，则速度在分量上的变化为（图 2.20）





在整个职业生涯期间，欧拉曾多次将讨论的注意力转移回到流体动力学的问题上来。只不过多数时间，他通常需要将这些研究应用于诸如确定船壳的最有效形状等实际问题上。欧拉对这些偏微分方程的讨论，构成了 19 世纪人们得到纳维斯托克斯方程的重要一步，后者是用来描述黏性流体运动的方程，由克劳德–路易·纳维（Claude-Louis Navier，1785—1836）和乔治·加布里埃尔·斯托克斯（George Gabriel Stokes，1819—1903）共同提出。欧拉的这些研究为流体动力学的发展奠定了基础。

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作者：[美]戴维·M. 布雷苏（David M. Bressoud）

译者：陈见柯 林开亮 叶卢庆

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