拓扑流形引论 (1.1)

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拓扑流形引论 (1.1)

作者：飞鸟 科学万象 2024 年 08 月 15 日 20:17 广东

什么是流形？

从基本思想上看，流形类似于曲线和曲面，但可能具有更高的维度。每个流形都有一个特定的非负整数，称为其维度，粗略地说，即指定一个点所需的独立“参数”的数量。n 维流形的原型是 n 维欧几里得空间 R^n ，其中每个点是一个 n 元实数组。

n 维流形是局部类似 R^n 的对象；这意味着如果给定一个起点，则在离其不太远的位置恰好需要 n 个数来指定一点。物理学家则会说 n 维流形是具有 n 个自由度的对象。


图 1.1 平面曲线


图 1.2 空间曲线

1 维流形是直线和曲线。比如实数轴、平面上的圆、抛物线，或任何形式为 y=f(x) 的连续函数的图像（图 1.1）。其它常见的一维流形是空间曲线，通常用参数方程描述，例如对于某些连续函数 f,g,h ，(x,y,z)=(f(t),g(t),h(t)) 对应的空间曲线（图 1.2）。

在上述的示例中，每个点都可以用单个实数来明确指定。例如，实数轴上的点就对应一个实数，通过角度就能对应圆上的某一点，通过 x 坐标就能识别 y=f(x) 图像上的点，通过参数 t 能对应参数化曲线上的点。需要注意的是，虽然每个参数值都决定一个点，但不同的参数值可能对应于同一个点。但在每种情况下，只要指定某个初始点，附近的实数和直线或曲线上附近的点之间就会存在一一对应关系。


图 1.3 圆环面

2 维流形是曲面。最常见的例子是平面和球面。（当数学家谈到 sphere 时，总是指球面，而不是实心球。R^3 中的单位球面是二维的，而实心球是三维的）其他熟悉的曲面包括圆柱、椭球、抛物面、双曲面和圆环面，圆环面可以可视化为 R^3 中通过将圆围绕 z 轴旋转一圈而获得的甜甜圈形曲面（图 1.3）。在上述这些情况下，需要两个坐标来确定一个点。例如，平面上通常使用笛卡尔坐标或极坐标；在球面上可能使用纬度和经度；在圆环面上可以使用两个角度。

人们可以轻松想象出来的唯一高维流形是欧几里得三维空间。但构造更高维欧几里得空间的子集并不难，这些子集可以合理地称为流形。首先，显而易见，任何 R^n 的开子集都是 n 维流形。此外可以通过使用一个或多个方程“切出”低维子集，来得到更有趣的例子。例如，R^4 中满足方程



的点集 (x1,x2,x3,x4) 称为（单位）三维球面。这是一个三维流形，因为在任何给定点的邻域中，只需要三个坐标即可指定附近的点，比如从“北极”开始，可以选择适当小的 (x1,x2,x3) 坐标并设置



来唯一确定每个附近的点。

上述这些例子的关键特征是 n 维流形在局部“看起来像” R^n 。“看起来像”这一直观概念可以描述为，如果欧氏空间的两个子集 UR^k，VR^n 之间存在一一对应的映射 φ : U→V ，且满足 φ 及其逆都是连续映射，则称这两个子集是拓扑等价的或同胚的。如果欧氏空间 R^k 的某子集  M 中的任意点在 M 中都有一个邻域，且邻域与 R^n 中的一个球拓扑等价，则称该子集 M 是 n 维的局部欧氏空间。

这里给出流形的临时定义：n 维流形（简称 n 流形）可以被视为某个欧氏空间 R^k 的子集，且该子集是 n 维的局部欧氏空间。后面了解更多之后，将给出一个更为通用的定义。

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