为什么我们会关心复分析呢

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为什么我们会关心复分析呢

原创 围城里的猫 MathSpark 2024 年 08 月 13 日 07:30 陕西

作为介绍，我们从一些简单的问题开始。100 的平方根是多少？换句话说，什么数乘以它本身等于 100 ？很简单，答案是 10 。那么再问 -1 的平方根是多少？

嗯，这不太明显。因为我们知道负数乘以负数为正数，那么我们怎么可能求出 -1 的平方根呢？答案是：我们定义它。这不仅仅是一个简单的定义。赋予这个答案 i ，即“虚数单位”，是复分析的开端。

那么，很自然的问题就是你为什么要关心复杂分析呢？事实证明，尽管名称是“虚构的”，也是我们认为定义的，但是复分析的影响却是真实存在的，从工程到纯数学，它的身影不断出现，刷新我们的认知。



遗憾的是这期推送甚至没有触及复分析领域的皮毛，也没有提供足够的介绍来真正深入探讨该主题。唯一有的就是一些可能应用的简单实例以及一些背景知识。

尽管对复数的提出或者轻微应用可以追溯到公元 1 世纪的古希腊，但真正为大众熟知的要到 1702 年，约翰·伯努利，第一个使用虚数单位求解多项式方程。紧接着 1730 年亚伯拉罕·棣莫弗，提出了利用复数求解三角方程的方法，该方程沿用至今，即棣莫弗方程。1748 年莱昂哈德·欧拉，一位真正的数学天才。欧拉恒等式被提出。

奥古斯丁·路易·柯西在 1812 年他的论文中首次引入了复分析这个称呼并探讨了其严肃的数学含义，1856 年伯恩哈德·黎曼在复分析中引入了黎曼曲面和洛朗级数，使得这个领域更加几何化，至于更为现代的复分析研究，则由亨利·庞加莱、理查德·戴德金和菲利克斯·克莱因大大发展。



诚如你所见的，每一位都是赫赫有名的数学家，也足以可见这个领域的吸引力。至于我们在踏入这个领域时，必然会面对一个叫柯西积分定理的东西，即一个定义在单连通区域 D 上的解析函数 f(z) 沿 D 中的任意一条封闭可求长的曲线的曲线积分为零。以此为基础，还能说明全纯函数在区域内部的值完全取决于区域边界上的值，并且我们能够利用积分对区域内每一点的任意阶导数进行计算，从某种意义上讲全纯函数的微分等同于积分，二者在以前几乎难以想象。



难以想象的积分公式，使得我们能够踏入前人未涉足的领域，比方说如果你要求解下面这个积分：



如果你只使用常规方法，什么特殊的代换，几乎很难求解，但通过使用复分析，我们将 f(x) 转换为 f(z) ，并求解留数。然后你只需应用留数定理，答案就会出来。



为了有个参考，我们给出上面积分的数值，如果你已经掌握留数这个强大的工具，可以尝试一下，如果还没有，我绝对推荐你学习一下复分析。

我也知道你一定听说过代数基本定理：每个具有复系数的非常量单变量多项式至少有一个复根。或者其等价的版本：任何一个非零的一元 n 次复系数多项式，都正好有 n 个复数根（重根视为多个根）。

这个定理有趣之处在于尽管它叫代数基本定理，但是你几乎找不到它的一个纯代数证明，反而利用复分析的最大模原理，你可以轻松解决。





当然还有以复分析为工具的解析数论，这方面我几乎完全不知道，也就不写了，我们下期见吧。

围城里的猫