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黄金时代的群山之巅

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发表于 2024-9-26 19:31 | 显示全部楼层 |阅读模式
黄金时代的群山之巅

原创 蔡驰南 蔡爸谈数学 2024 年 08 月 22 日 12:33 浙江

19 世纪是数学的黄金时代,这一百年里新增的数学成果超过了之前所有时代的总和。

如果将这个时代的数学家比作群山,那群山之巅无疑要数卡尔·弗里德里希·高斯(Carl Friedrich Gauss,1777年4月30日—1855年2月23日),一位基本靠自学成才的天选之子。自他之后,数学的中心开始由法国向德国倾斜。



可以说数学上的惊人之举贯穿了他的一生。

高斯出生于德国布伦瑞克的一个贫寒之家,他对数字很敏锐,仅仅通过自己的观察就学会了计算,三岁时已能纠正父亲账目上的错误。


德国布伦瑞克

高斯 10 岁时,老师在课堂上出了一道题,让学生计算从 1 加到 100 ,还没等老师坐下,小高斯就心算出了答案。在没有任何人指导过的情况下,他自己摸索出了等差数列快速求和的方法。

从此,他的老师比特纳和助手巴特尔斯意识到了这个孩子天赋异禀,很快就让布伦瑞克-吕讷堡公爵(卡尔·威廉·斐迪南,布伦瑞克-吕讷堡公爵,布伦瑞克-沃尔芬比特尔-贝芬亲王,Charles II William Ferdinand, Duke of Brunswick-Lüneburg, Prince of Brunswick-Wolfenbuettel-Bevern)注意到了高斯的才能。


布伦瑞克-吕讷堡公爵

这位具备学识教养且仁厚开明的公爵见了高斯,十分欣赏,从此开始资助高斯。高斯顺利完成了在本地卡罗琳学院的学习后,被哥廷根大学录取(1795 年)。

然而进了大学的高斯困惑于,自己究竟是学习语言还是学习数学。


哥廷根大学

距他 19 岁生日还有一个月时(1796 年 3 月 30 日),高斯终于不再迷茫。他在那一天解决了一道困扰数学家近两千年的难题:用尺规画出正十七边形,并证明了用尺规能还画出哪些正多边形。



从此,高斯选择了数学,这是人类之幸。

之后他开始记日记,以纪念这次重大发现,而他的日记一直持续了 18 年。仅仅这一年(1796年),他的数学日记(Mathematisches Tagebuch)里就有许多惊人的发现:

3 月 30 日,构造正 17 边形的方法;

4 月 8 日,二次互反律的第一个证明;

5 月 13 日,猜测素数分布的规律即素数定理;

7 月 10 日,提出任何自然数是最多三个三角形数的和,“ΕΥΡΗΚΑ!num =Δ+Δ+Δ”。

还在读大学的高斯开始撰写数论著作。

在 21 岁时(1798 年)他完成了巨著《算数研究》。这一年,高斯博士毕业,再次回到了家乡布伦瑞克。

在公爵的资助下,3 年后(1801 年)该书出版。



在书中,高斯建立了同余的概念和符号;对 18 世纪数论成就进行了回顾;提出了“黄金定理”二次互反律的证明(两年前勒让德的证明存在漏洞);他在全书最后,讨论了分圆多项式和尺规作图问题,原来当年的几何难题归根结底是一个数论问题

拉格朗日看后,写信给年轻的高斯说:“你的《算数研究》一书,已使你跻身于第一流数学家之列了。”然而,这本书真正受到重视,已是二十余年之后。
回到家乡,没有找到教职工作的高斯,不愿一直接受公爵的资助。于是放弃了纯数学研究,选择成为专业的天文学家。



最早让高斯声名大振的是天文学,而非数论。

1801 年,天文学家(皮亚齐)发现了新的小行星谷神星,但是几周之后,这个小天体被跟丢了。高斯借助最小二乘法,设计了“高斯法”,仅凭三次观测,就计算出了星体的椭圆轨道(现在仍然用于最终未卫星)。天文学家按高斯的预测去寻找,果然再次发现了谷神星。



24 岁的高斯一战成名,俄国获悉后,曾一度想邀请高斯去圣彼得堡接替去世的欧拉。

德国意识到了高斯的重要性,在各方人士努力之下,哥廷根新建了一座天文台,邀请高斯担任天文台台长(1807年)。高斯在那里出版了《天体运动论》


哥廷根天文台

大约 15 年之后,他开始负责汉诺威全境的勘测,历经多年,他不但完成这项艰巨的任务,还凭借非凡的智慧洞悉了球面几何的本质,并创造性地提出了高斯曲率,一个影响到广义相对论和宇宙形状的数学概念,高斯称之为“绝妙定理”



他因此出版了著作《曲面的一般研究》(1827 年),标志着新的数学分支——微分几何的创立。



高斯在辞去天文台的工作后,又投身电磁学的研究。他与韦伯合作,创造了世界上第一个电话电报系统(1833)和第一张地球磁场图(1840)。


高斯与韦伯

高斯不经意间的一个发现,可能就为后世研究的出发点。

他将复数以复平面上点的形式进行呈现,这种可视化让虚数开始被普遍接受,现在的复平面也被称为高斯平面。



他在处理了足够多的天文数据后,得到了具有概率性质的测量结果,提出了正态分布(高斯分布),这也是概率论中最常见的一种分布。



高斯是一位完美主义者,如他自己一直信奉的格言“少而精”,未经过深思熟虑,从不轻易示人。正因如此,他有很多重要的发现,一生都未发表。

笔记显示,他对非欧几何椭圆函数论都有深刻认识。



19 世纪上半叶,高斯未发表的内容,成为悬在数学界头顶上的“达摩克里斯之剑”。数学家们深怕自己毕生研究的成果,高斯在几十年前就已经得到了结论。

高斯是一位生在黄金时代的天才,他的成就涉及数学的各个方面,甚至还开辟出了很多新的分支,深刻影响了人类上百年的历史。

身处群山之巅的高斯却谦虚地说道:“假如别人和我一样深刻而持续地思考数学真理,他们也会作出同样的发现。”

数学王子高斯这样的精彩故事,在北京大学出版社的《数学史》一书中,都有完好记载。该书以数学主题和人物为章节,确保了可读性与专业性的统一,初版至今超过五十年,根据数学的发展几经修订,装帧精美,是一部值得收藏的经典之作。

蔡爸谈数学

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