问：各位数字之和为 19 的四位数有几个？

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luyuanhong

题  问：各位数字之和为 19 的四位数有几个？

解  将四位数拆分为前两位数字与后两位数字，有以下 18 种情况：

（1）前两位数字之和为 1 ，有 1 种：10 。后两位数字之和为 18 ，有 1 种：99 。

（2）前两位数字之和为 2 ，有 2 种：11,20 。后两位数字之和为 17 ，有 2 种：89,98 。

（3）前两位数字之和为 3 ，有 3 种：12,21,30 。后两位数字之和为 16 ，有 3 种：79,88,97 。

（4）前两位数字之和为 4 ，有 4 种：13,22,31,40 。后两位数字之和为 15 ，有 4 种：69,78,87,96 。

（5）前两位数字之和为 5 ，有 5 种：14,23,32,41,50 。后两位数字之和为 14 ，有 5 种：59,68,77,86,95 。

（6）前两位数字之和为 6 ，有 6 种：15,24,33,42,51,60 。后两位数字之和为 13 ，有 6 种：49,58,67,76,85,94 。

（7）前两位数字之和为 7 ，有 7 种：16,25,34,43,52,61,70 。后两位数字之和为 12 ，有 7 种：39,48,57,66,75,84,93 。

（8）前两位数字之和为 8 ，有 8 种：17,26,35,44,53,62,71,80 。后两位数字之和为 11 ，有 8 种：29,38,47,56,65,74,83.92 。

（9）前两位数字之和为 9 ，有 9 种：18,27,36,45,54,63,72,81,90 。后两位数字之和为 10 ，有 9 种：19,28,37,46,55,64,73.82,91 。

（10）前两位数字之和为 10 ，有 9 种：19,28,37,46,55,64,73,81,91 。后两位数字之和为 9 ，有 10 种：09,18,27,36,45,54,63.72,81,90 。

（11）前两位数字之和为 11 ，有 8 种：29,38,47,56,65,74,83,92 。后两位数字之和为 8 ，有 9 种：08,17,26,35,44,53,62.71,80 。

（12）前两位数字之和为 12 ，有 7 种：39,48,57,66,75,84,93 。后两位数字之和为 7 ，有 8 种：07,16,25,34,43,52,61.70 。

（13）前两位数字之和为 13 ，有 6 种：49,58,67,76,85,94 。后两位数字之和为 6 ，有 7 种：06,15,24,33,42,51,60 。

（14）前两位数字之和为 14 ，有 5 种：59,68,77,86,95 。后两位数字之和为 5 ，有 6 种：05,14,23,32,41,50 。

（15）前两位数字之和为 15 ，有 4 种：69,78,87,96 。后两位数字之和为 4 ，有 5 种：04,13,22,31,40 。

（16）前两位数字之和为 16 ，有 3 种：79,88,97 。后两位数字之和为 3 ，有 4 种：03,12,21,30 。

（17）前两位数字之和为 17 ，有 2 种：89,98 。后两位数字之和为 2 ，有 3 种：02,11,20 。

（18）前两位数字之和为 18 ，有 1 种：99 。后两位数字之和为 1 ，有 2 种：01,10 。

    综合以上讨论，可知各位数字之和为 19 的四位数的总数为

       1×1 + 2×2 + 3×3 + 4×4 + 5×5 + 6×6 + 7×7+ 8×8 + 9×9

      + 9×10 + 8×9 + 7×8 + 6×7 + 5×6 + 4×5 + 3×4 + 2×3 + 1×2

       = 285 + 330 = 615 。

lihp2020

问题 化简为
a+b+c+d =19
1<=a<=9
0<=b<=9
0<=c<=9
0<=d<=9
计A =a-1  0<=A<=8
A+b+c+d =18
不考虑<=**
结果是C(18+4-1,3)
容斥原理
- 存在1个 <=** 不满足
+ 存在2个 <=** 不满足
- 存在3个 <=** 不满足
。。。

2个 <=** 不满足  明显不存在 结果=0  

k<=M 不满足  就是 直接k>M
也就是 (k-M-1)>0  k-M-1 整体的 非负整数解

存在1个 <=** 不满足
0<=A<=8
(A-9)+b+c+d=18-9 =9
结果是C(9+4-1,3)
bcd 等价只算1个 后面*3
0<=b<=9
A+(b+10)+c+d=18-10 =8
C(8+4-1,3)

+ 存在2个 <=**  明显不存在


最后结果=
C(18+4-1,3)
- (C(9+4-1,3)+3*C(8+4-1,3)
=1330-(220-3*165)=615

风花飘飘

暴力遍历全部9000个四位数：
各位数字之和=19的数
一共354个！
615这个答案是错误的！

王守恩

1099, 1189, 1198, 1279, 1288, 1297, 1369, 1378, 1387, 1396, 1459, 1468, 1477, 1486, 1495, 1549, 1558, 1567, 1576, 1585, 1594, 1639, 1648, 1657, 1666, 1675, 1684, 1693, 1729, 1738,
1747, 1756, 1765, 1774, 1783, 1792, 1819, 1828, 1837, 1846, 1855, 1864, 1873, 1882, 1891, 1909, 1918, 1927, 1936, 1945, 1954, 1963, 1972, 1981, 1990, 2089, 2098, 2179, 2188, 2197,
2269, 2278, 2287, 2296, 2359, 2368, 2377, 2386, 2395, 2449, 2458, 2467, 2476, 2485, 2494, 2539, 2548, 2557, 2566, 2575, 2584, 2593, 2629, 2638, 2647, 2656, 2665, 2674, 2683, 2692,
2719, 2728, 2737, 2746, 2755, 2764, 2773, 2782, 2791, 2809, 2818, 2827, 2836, 2845, 2854, 2863, 2872, 2881, 2890, 2908, 2917, 2926, 2935, 2944, 2953, 2962, 2971, 2980, 3079, 3088,
3097, 3169, 3178, 3187, 3196, 3259, 3268, 3277, 3286, 3295, 3349, 3358, 3367, 3376, 3385, 3394, 3439, 3448, 3457, 3466, 3475, 3484, 3493, 3529, 3538, 3547, 3556, 3565, 3574, 3583,
3592, 3619, 3628, 3637, 3646, 3655, 3664, 3673, 3682, 3691, 3709, 3718, 3727, 3736, 3745, 3754, 3763, 3772, 3781, 3790, 3808, 3817, 3826, 3835, 3844, 3853, 3862, 3871, 3880, 3907,
3916, 3925, 3934, 3943, 3952, 3961, 3970, 4069, 4078, 4087, 4096, 4159, 4168, 4177, 4186, 4195, 4249, 4258, 4267, 4276, 4285, 4294, 4339, 4348, 4357, 4366, 4375, 4384, 4393, 4429,
4438, 4447, 4456, 4465, 4474, 4483, 4492, 4519, 4528, 4537, 4546, 4555, 4564, 4573, 4582, 4591, 4609, 4618, 4627, 4636, 4645, 4654, 4663, 4672, 4681, 4690, 4708, 4717, 4726, 4735,
4744, 4753, 4762, 4771, 4780, 4807, 4816, 4825, 4834, 4843, 4852, 4861, 4870, 4906, 4915, 4924, 4933, 4942, 4951, 4960, 5059, 5068, 5077, 5086, 5095, 5149, 5158, 5167, 5176, 5185,
5194, 5239, 5248, 5257, 5266, 5275, 5284, 5293, 5329, 5338, 5347, 5356, 5365, 5374, 5383, 5392, 5419, 5428, 5437, 5446, 5455, 5464, 5473, 5482, 5491, 5509, 5518, 5527, 5536, 5545,
5554, 5563, 5572, 5581, 5590, 5608, 5617, 5626, 5635, 5644, 5653, 5662, 5671, 5680, 5707, 5716, 5725, 5734, 5743, 5752, 5761, 5770, 5806, 5815, 5824, 5833, 5842, 5851, 5860, 5905,
5914, 5923, 5932, 5941, 5950, 6049, 6058, 6067, 6076, 6085, 6094, 6139, 6148, 6157, 6166, 6175, 6184, 6193, 6229, 6238, 6247, 6256, 6265, 6274, 6283, 6292, 6319, 6328, 6337, 6346,
6355, 6364, 6373, 6382, 6391, 6409, 6418, 6427, 6436, 6445, 6454, 6463, 6472, 6481, 6490, 6508, 6517, 6526, 6535, 6544, 6553, 6562, 6571, 6580, 6607, 6616, 6625, 6634, 6643, 6652,
6661, 6670, 6706, 6715, 6724, 6733, 6742, 6751, 6760, 6805, 6814, 6823, 6832, 6841, 6850, 6904, 6913, 6922, 6931, 6940, 7039, 7048, 7057, 7066, 7075, 7084, 7093, 7129, 7138, 7147,
7156, 7165, 7174, 7183, 7192, 7219, 7228, 7237, 7246, 7255, 7264, 7273, 7282, 7291, 7309, 7318, 7327, 7336, 7345, 7354, 7363, 7372, 7381, 7390, 7408, 7417, 7426, 7435, 7444, 7453,
7462, 7471, 7480, 7507, 7516, 7525, 7534, 7543, 7552, 7561, 7570, 7606, 7615, 7624, 7633, 7642, 7651, 7660, 7705, 7714, 7723, 7732, 7741, 7750, 7804, 7813, 7822, 7831, 7840, 7903,
7912, 7921, 7930, 8029, 8038, 8047, 8056, 8065, 8074, 8083, 8092, 8119, 8128, 8137, 8146, 8155, 8164, 8173, 8182, 8191, 8209, 8218, 8227, 8236, 8245, 8254, 8263, 8272, 8281, 8290,
8308, 8317, 8326, 8335, 8344, 8353, 8362, 8371, 8380, 8407, 8416, 8425, 8434, 8443, 8452, 8461, 8470, 8506, 8515, 8524, 8533, 8542, 8551, 8560, 8605, 8614, 8623, 8632, 8641, 8650,
8704, 8713, 8722, 8731, 8740, 8803, 8812, 8821, 8830, 8902, 8911, 8920, 9019, 9028, 9037, 9046, 9055, 9064, 9073, 9082, 9091, 9109, 9118, 9127, 9136, 9145, 9154, 9163, 9172, 9181,
9190, 9208, 9217, 9226, 9235, 9244, 9253, 9262, 9271, 9280, 9307, 9316, 9325, 9334, 9343, 9352, 9361, 9370, 9406, 9415, 9424, 9433, 9442, 9451, 9460, 9505, 9514, 9523, 9532, 9541,
9550, 9604, 9613, 9622, 9631, 9640, 9703, 9712, 9721, 9730, 9802, 9811, 9820, 9901, 9910}

风花飘飘

王守恩 发表于 2026-8-8 08:07
1099, 1189, 1198, 1279, 1288, 1297, 1369, 1378, 1387, 1396, 1459, 1468, 1477, 1486, 1495, 1549, 1558 ...

这多出来的261个数能吃到过年…呵呵

王守恩

Select[Range[1000, 9999], Total[IntegerDigits[#]] == 19 &]——这是楼上的代码。——当然 1000, 9999, 19 是可以换的。

Table[SeriesCoefficient[Sum[x^k, {k, 9}]*Sum[x^k, {k, 0, 9}]^(n - 1), {x, 0, 19}], {n, 20}]——各位数字之和为 19 的 n 位数有几个。

{0, 0, 45, 615, 4620, 25212, 111573, 424215, 1435005, 4419415, 12593152, 33597928, 84687655, 203110285, 466141630, 1028496106, 2190150919, 4516056325, ——OEIS 是不会有的！！！

其中四位数有615个。——这些数字也是可以换的。

风花飘飘

符合条件的5位数
各位数字之和为19的5位数共有4905个