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解密斯特林公式:从推导到应用的数学奇迹

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发表于 2024-10-1 20:04 | 显示全部楼层 |阅读模式
解密斯特林公式:从推导到应用的数学奇迹

原创 不会变换的傅里叶 通往未来的门 2024 年 08 月 23 日 17:46 黑龙江

斯特林公式(Stirling's formula)是数论和概率论中一个著名的近似公式,主要用于估算阶乘函数(n!)在 n 较大时的值。斯特林公式在统计学、组合数学、以及许多其他数学领域中都有广泛应用。本文将围绕斯特林公式的一种推导展开讨论,并探索其在不同数学领域的应用。

一、斯特林公式的背景与意义

斯特林公式的基本形式如下:



其中,n! 是 n 的阶乘,表示从 1 到 n 的所有整数的乘积;e 是自然对数的底;π 是圆周率。随着 n 的增大,公式右侧对 n! 的近似程度越来越高。

斯特林公式的推导不仅仅是数学上的一项巧妙发现,它还揭示了在大数情况下,阶乘函数与指数函数之间的深刻联系。这一公式的重要性体现在多个方面:首先,它简化了大数情况下阶乘的计算;其次,它在组合数学中,用于估计排列数和组合数;此外,它在概率论中被用于计算多项式分布和正态分布的极限情况。

二、斯特林公式的推导

斯特林公式的推导有多种方法,以下我们将介绍一种经典的推导方法,该方法使用了积分、对数以及泰勒级数展开等工具。

1. 使用积分与对数的推导

首先,我们从阶乘的定义入手,并引入对数以简化计算。我们考虑 n! 的对数:



对于大 n ,可以使用积分来近似求解和式。注意到 ln(k) 在 n 趋于无穷大时的行为,我们可以将其近似为积分:



通过计算该积分,我们得到:



将积分上下限代入并简化,我们得到:



因此,阶乘的对数可以近似为:



为了得到斯特林公式的精确形式,我们需要进一步校正上述结果。这里我们引入了著名的欧拉-麦克劳林公式,该公式用于校正积分的近似,得到如下校正项:



最后,我们通过指数运算得到斯特林公式的近似形式:



2. 使用泰勒展开的推导

另一种推导斯特林公式的方法是通过泰勒级数展开。考虑对数函数的泰勒展开:



将此公式应用于对数阶乘函数中,我们可以得到更精细的近似公式。这种方法涉及到更多复杂的计算,但其核心思想仍然是通过对 ln(n!) 的近似来推导斯特林公式。

三、斯特林公式的应用

1. 组合数学中的应用

在组合数学中,斯特林公式用于估计排列数和组合数。当我们需要计算一个非常大的数的阶乘时,直接计算可能非常困难,斯特林公式提供了一个有效的近似方法。例如,计算排列数时的近似值:



当 n 和 k 都很大时,可以使用斯特林公式来近似计算。

2. 概率论中的应用

在概率论中,斯特林公式在计算多项分布和正态分布的极限时发挥重要作用。例如,在中心极限定理中,正态分布的标准化形式通常依赖于斯特林公式的近似。

3. 统计学中的应用

在统计学中,斯特林公式用于估计大样本情况下的分布函数。例如,似然估计中的极大似然估计方法(MLE)常常需要计算复杂的阶乘函数,这时可以通过斯特林公式来简化计算。

4. 举个例子

求极限



解:



四、总结

斯特林公式为大数阶乘的计算提供了一个简单且有效的近似方法。本文通过积分与对数方法以及泰勒展开法推导了斯特林公式,并探讨了它在组合数学、概率论和统计学中的应用。斯特林公式的广泛应用使其成为数学研究中的一个重要工具。理解其推导过程和应用场景,不仅有助于数学研究的深入,还能提高我们在实际问题中的计算效率。

不会变换的傅里叶

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