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素数下界估计
x=2^2时，因为√2^2=2.所以在2^2中筛去所有2的合数和自然数1,
h2^2=1.414 213 562^2=2,g2^2=1.414 213 562^2=2.
π(2^2)=4-2=2.
x=2^3时，因为√2^3=2.828 427 125..所以在2^3中筛去所有2的合数和自然数1,
h3^3=1.587 401 052^3=4,g3^3=1.587 401 052^3=4.
这时候:
h2^3=1.414 213 562^3=2.828 427 1,去掉小数=2.但是π(2^3)=4.
所以π(2^3)=2+2≈h2^3+b^3≈1.414 213 562^3+1.259 921 050^3=4.
π(2^3)>1.414 213 562^3=2.828 427 1
x=2^4时，因为√2^4=4.所以在2^4中筛去所有2和3的合数和自然数1,
h4^4=1.565 084 580^4=6,g4^4=1.778 279 410^4=10.
这时候:
h3^4=1.587 401 052^3=6.349 604 2,去掉小数=6,但是π(2^4)=6.
所以π(2^4)=6+0≈h3^4+b^4≈1.587 401 052^4+0=6.
π(2^4)<1.587 401 052^3=6.349 604 2
x=2^5时，因为√2^5=5.656 854 249.所以在2^5中筛去所有2,3,5的合数和自然数1,
h5^5=1.615 394 266^5=11,g5^5=1.838 416 287^5=21.
这时候:
h4^5=1.565 084 580^5=9.390 507 5,去掉小数=9,但是π(2^5)=11.
所以π(2^5)=9+2≈h4^5+b^5≈1.565 084 580^5+1.148 698 355^5=11.
π(2^5)>1.565 084 580^5=9.390 507 5
x=2^6时,√2^6=8.所以在2^6中筛去所有2,3,5,7的合数和自然数1,
h6^6=1.618 870 407^6=18,g6^6=1.892 894 046^6=46.
这时候:
h5^6=1.615 394 266^6=17.769 336 9,去掉小数=17,但是π(2^6)=18.
所以π(2^6)=17+1≈h5^6+b^6≈1.615 394 266^6+1^6=18.
π(2^6)>1.615 394 266^6=17.769 336 9
x=2^7时,√2^7=11.313 708 50.所以在2^7中筛去所有2,3,5,7,11的合数和自然数1,
h7^7=1.633 246 253^7=31,g7^7=1.922 314 906^7=97.
这时候:
h6^7=1.618 870 407^7=29.139 667,去掉小数=29.但是π(2^7)=31.
所以π(2^7)=29+2≈h6^7+b^7≈1.618 870 407^7+1.104 089 514^7=31.
π(2^7)>1.618 870 407^7=29.139 667
x=2^8时,√2^8=16.所以在2^8中筛去所有2,3,5,7,11,13的合数和自然数1,
h8^8=1.646 452 553^8=54,g8^8=1.941 640 942^8=202.
这时候:
h7^8=1.633 246 253^8=50.630 634,去掉小数=50.但是π(2^8)=54.
所以π(2^8)=50+4≈h7^8+b^8≈1.633 246 253^8+1.189 207 115^8=54.
π(2^8)>1.633 246 253^8=50.630 634
x=2^9时,√2^9=22.627 417 00.所以在2^9中筛去所有不大于19的合数和自然数1,
h9^9=1.662 464 633^9=97,g9^9=1.953 863 559^9=415
这时候:
h8^9=1.646 452 553^9=88.908 44，去掉小数=88.但是π(2^9)=97
所以π(2^9)=88+9≈h8^9+b^9≈1.646 452 553^9+1.276 518 007^9=97
π(2^9)>1.646 452 553^9=88.908 44
x=2^10时,√2^10=32，所以在2^10中筛去所有不大于31的合数和自然数1,
h10^10=1.673 219 220^10=172，g10^10=1.963 559 019^10=852
这时候:
h9^10=1.662 464 633^10=161.259 07,去掉小数=161.但是π(2^10)=172
所以π(2^10)=161+11≈h9^10+b^10≈1.662 464 633^10+1.270 981 615^10=172
π(2^10)>1.662 464 633^10=161.259 07
x=2^11时,√2^11=53.366 656 26,所以在2^11`中筛去所有不大于53的合数和自然数1,
h11^11=1.684 068 923^11=309,g11^11=1.970 482 986^11=1739
这时候:
h10^11=1.673 219 220^11=287.7937,去掉小数=287.但是π(2^11)=309
所以π(2^11)=287+22≈h10^11+b^11≈1.673 219 220^11+1.324 458 716^11=309
π(2^11)>1.673 219 220^11=287.7937
x=2^12时,√2^12=64,所以在2^12中筛去所有不大于61的合数和自然数1,
h12^12=1.695 404 216^12=564,g12^12=1.975 460 687=3532
这时候:
h11^12=1.684 068 923^12=520.3773去掉小数=520,但是π(2^12)=564
所以π(2^12)=520+44≈h11^12+b^12≈
1.684 068 923^12+1.370 737 802^12=564
π(2^12)>1.684 068 923^12=520.3773
x=2^13,√2^13=90.509 667 99,所以在2^13中筛去所有不大于89的合数和自然数1,
h13^13=1.704 871 999^13=1028,g13^13=1.979 476 859^13=7164
这时候:
h12^13=1.695 404 216^13=956.207 98,去掉小数=956,但是π(2^13)=1028
所以π(2^13)=956+72≈h12^13+b^13≈
1.695 404 216^13+1.389 542 167^13=1028
π(2^13)>1.695 404 216^13=956.207 98
x=2^14,√2^14=128,所以在2^14中筛去所有不大于127的合数和自然数1,
h14^14=1.714 733 710^14=1900,g14^14=1.982 468 624^14=14 484
这时候:
h13^14=1.704 871 999^14=1752.6084,去掉小数=1752,但是π(2^14)=1900
所以π(2^14)=1752+148≈h13^14+b^14≈
1.704 871 999^14+1.428 955 466^14=1900
π(2^14)>1.704 871 999^14=1752.6084
x=2^15,√2^15=181.019 336 0,所以在2^15中筛去所有不大于181的合数和自然数1,
h15^15=1.723 337 350^15=3512,g15^15=1.984 941 278^15=29 256
这时候:
h14^15=1.714 733 710^15=3257.994,去掉小数=3257,但是π(2^15)=3512
所以π(2^15)=3257+255≈h14^15+b^15≈
1.714 733 710^15+1.446 891 656^15=3512
π(2^15)>1.714 733 710^15=3257.994
x=2^16,√2^16=256,所以在2^16中筛去所有不大于251的合数和自然数1,
h16^16=1.731 736 891^16=6542,g16^16=1.986 897 623^16=58 994
这时候:
h15^16=1.723 337 350^16=6052.3608,去掉小数=6052,但是π(2^16)=6542
所以π(2^16)=6052+490≈h15^15+b^16≈
1.723 337 350^16+1.472 777 888^16=6542
π(2^16)>1.723 337 350^16=6052.3608
x=2^17,√2^17=362.038 672 0,所以在2^17中筛去所有不大于359的合数和自然数1,
h17^17=1.739 725 298^17=12251,g17^17=1.988 488 710^17=118 821
这时候:
h16^17=1.731 736 891^17=11 329.023,去掉小数=11 329,但是π(2^17)=12251
所以π(2^17)=11 329+922≈h16^17+b^17≈
1.731 736 891^17+1.494 155 977^17=12251
π(2^17)>1.731 736 891^17=11 329.023
x=2^18,√2^18=512,所以在2^18中筛去所有不大于509的合数和自然数1,
h18^18=1.747 101 808^18=23000,g18^18=1.989 822 861^18=239 144
这时候:
h17^18=1.739 725 298^18=21 313.37,去掉小数=21 313,但是π(2^18)=23000
所以π(2^18)=21 313+1687≈h17^18+b^18≈
1.739 725 298^18+1.511 068 566^18=23000
π(2^18)>1.739 725 298^18=21 313.37
x=2^19,√2^19=724.077 343 9,所以在2^19中筛去所有不大于719的合数和自然数1,
h19^19=1.754 175 898^19=43390,g19^19=1.990 927 381^19=480 898
这时候:
h18^19=1.747 101 808^19=40 183.34,去掉小数=40 183,但是π(2^19)=43390
所以π(2^19)=40 183+3207≈h18^19+b^19≈
1.747 101 808^19+1.529 436 760^19=43390
π(2^19)>1.747 101 808^19=40 183.34
x=2^20,√2^20=1024,所以在2^20中筛去所有不大于1021的合数和自然数1,
h20^20=1.760 748 439^20=82025,g20^20=1.991 871 138^20=966 551
这时候:
h19^20=1.754 175 898^20=76 113.69,去掉小数=76 113,但是π(2^20)=82025
所以π(2^20)=76 113+5912≈h19^20+b^20≈
1.754 175 898^20+1.543 784 660^20=82025
π(2^20)>1.754 175 898^20=76 113.69
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发表于 2024-10-5 08:29
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