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求解轨道微分方程

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发表于 2024-10-20 07:55 | 显示全部楼层 |阅读模式
求解轨道微分方程

原创 cosmos2062 cosmos2062 2024 年 09 月 09 日 10:13 广东

通过几个变量替换步骤,将动力学微分方程转化成简单的微分方程,并利用不定积分方法求解这个方程,得到天体运动的轨道方程。



通过对动力学微分方程做降阶处理后,我们得到了能量守恒方程,这是一个径向距离对时间的依赖关系的微分方程,可以直接求解,得到两者的函数关系。不过,这并不是研究天体运动时想要的结果。我们真正想要的是径向距离与极角的函数关系,有两条途径实现这个目标。

第一条途径是:先求解能量守恒方程,得到径向距离与时间的函数关系,将其代入角动量守恒方程中,求解出极角与时间的函数关系,再联合两个函数关系,将时间因子消去,就得到我们想要的结果。不过,这种处理方法比较繁琐;另一条途径是,先将能量守恒方程与角动量守恒方程联合起来,消去时间因子,得到反映径向距离与极角之间关系的微分方程,求解这个轨道微分方程,就可以得到轨道方程。显然,用这种方法处理问题显得更为简洁(不是简单)。

{{3
利用能量守恒方程将径向距离对时间的一阶导数明显地表示出来:利用角动量的数值的表达式,将时间的微分因子消去,将径向距离对时间的依赖关系改写成径向距离对极角的依赖关系:将这个改变了形式的导数与微分方程中开平方根内的式子做比较,不难发现,如果做以下变量替换:微分方程的形式会变得较为简单:再做一次变量替换,并用一个字母来简记有关的常数组合:反映径向距离与极角的函数关系的微分方程最终被改写成如下形式:这是一个相当简单的微分方程,在讨论运动问题时,已经遇到过类似的方程,可以使用不定积分的方法进行求解:为了求出等式左边的积分,最后一次做变量替换:(下面的公式有错,最后要加微分符号dx)由此得到了微分方程的求解结果:把前面所做的几次变量替换逆着方向代回去,并将径向距离解出,得到它与极角的函数关系:至此,数学推导的任务已经完成。
}}

让我们回到物理学中来,解决剩余的问题:如何确定积分中的任意积分常数?





在《天体的运动轨道》中,曾经用另一种方法给出了上述形式的轨道方程,并讨论了偏心率与轨道形状之间的关系。现在,我们可以理解偏心率的物理本质了,它反映能量与角动量之间的关系。这件事情的细节就交给大家去讨论吧。

cosmos2062

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