请证明mk是梅森素数

yangchuanju

不定方程a^2+ab+b^2=p有整数解的素数p                        对照
p        整数解组数        正整数解        r^2-2整数解
3        5        1        0
5        0        0        0
7        12        2        2
11        0        0        0
13        12        2        0
17        0        0        2
19        0        0        0
23        0        0        2
29        0        0        0
31        12        2        2
37        12        2        0
41        0        0        2
43        12        2        0
47        0        0        2
53        0        0        0
59        0        0        0
61        12        2        0
67        12        2        0
71        0        0        2
73        12        2        2
79        12        2        2
83        0        0        0
89        0        0        2
97        12        2        2
101        0        0        0
103        12        2        2
107        0        0        0
109        12        2        0
113        0        0        2
127        12        2        2
131        0        0        0
137        0        0        2
139        12        2        0
149        0        0        0
151        12        2        2
157        12        2        0
163        12        2        0
167        0        0        2
173        0        0        0
179        0        0        0
181        12        2        0
191        0        0        2
193        12        2        2
197        0        0        0
199        12        2        2
211        12        2        0
223        12        2        2
227        0        0        0
229        12        2        0
233        0        0        2
239        0        0        2
241        12        2        2
251        0        0        0
257        0        0        2
……                       
两套整数解没有任何联系；
对于梅森素数两套整数解都有；
对于合数，如果合数中的所有素因子都有某种整数解，则该合数也有整数解；
在合数的各素因子中只要有一个素因子无整数解，则这个合数就没有整数解；
两套整数解都是这样！

yangchuanju

本博贴主楼（1楼）博主的猜想——
如果方程a^2+ab+b^2-mk=0，mk=2^k-1，只有2组正整数解，则mk是梅森素数；
式中：整数a>0，b>0，素数k≥3。
是正确的！

太阳

已知:\(a^2+ab+b^2=3m^2t^2\)，\(b=t^2-3\)，\(t=2m-1\)
整数\(a\ne0\)，\(b＞0\)，奇数\(t＞1\)，素数\(m＞0\)，\(p＞0\)
求证:\(t=p\)
已知:\(a^2+ab+b^2=3m^2t^2\)，\(b=t^2-3\)，\(t=2m-1\)
整数\(a\ne0\)，\(b＞0\)，奇数\(m＞1\)，素数\(t＞0\)，\(p＞0\)
求证:\(m=p\)
已知:\(a^2+ab+b^2=3m^2t^2\)，\(b=t^2-t-2\)，\(t=2m-1\)
整数\(a\ne0\)，\(b＞0\)，奇数\(t＞1\)，素数\(m＞0\)，\(p＞0\)
求证:\(t=p\)
已知:\(a^2+ab+b^2=3m^2t^2\)，\(b=t^2-t-2\)，\(t=2m-1\)
整数\(a\ne0\)，\(b＞0\)，奇数\(m＞1\)，素数\(t＞0\)，\(p＞0\)
求证:\(m=p\)
已知:\(a^2+ab+b^2=3m^2t^2\)，\(b=t^2+t-3\)，\(t=2m-1\)
整数\(a\ne0\)，\(b＞0\)，奇数\(t＞1\)，素数\(m＞0\)，\(p＞0\)
求证:\(t=p\)
已知:\(a^2+ab+b^2=3m^2t^2\)，\(b=t^2+t-3\)，\(t=2m-1\)
整数\(a\ne0\)，\(b＞0\)，奇数\(m＞1\)，素数\(t＞0\)，\(p＞0\)
求证:\(m=p\)
已知:\(a^2+ab+b^2=3m^2t^2\)，\(b=t^2+m-1\)，\(t=2m-1\)，\(m=ky\)
整数\(a\ne0\)，\(b＞0\)，\(k＞1\)，\(y＞1\)，奇数\(m＞1\)，\(t＞1\)，素数\(p＞0\)
求证:\(t=p\)
已知:\(a^2+ab+b^2=3m^2t^2\)，\(b=t^2+m-1\)，\(t=2m-1\)，\(t=ky\)
整数\(a\ne0\)，\(b＞0\)，\(k＞1\)，\(y＞1\)，奇数\(m＞1\)，\(t＞1\)，素数\(p＞0\)
求证:\(m=p\)
yangchuanju网友，看一下这些命题是否正确？能不能找到反例存在？